2 . Расчет прямого бруса на кручение
Стержень испытывает кручение, если в его поперечном сечении возникают только крутящие моменты, то есть моменты, лежащие в плоскости поперечных сечений. Все другие внутренние силовые факторы (нормальная и поперечная силы, изгибающие моменты) равны нулю. Внешние моменты передаются на вал, как правило, в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п.
Для
крутящего момента, независимо от формы
поперечного сечения, принято следующее
правило знаков. Если наблюдатель смотрит
на поперечное сечение со стороны внешней
нормали и видит внутренний крутящий
момент
(рис.3) направленным против часовой
стрелки, то момент считается положительным.
При противоположном направлении моменту
приписывается знак минус.
С
ледует
иметь в виду, что правило знаков для
крутящих моментов условно и может быть,
вообще говоря, любым, так как оно ничем
физически не обосновано. При растяжении
и сжатии имеют место неодинаковые
физические процессы – есть материалы,
имеющие различные механические
характеристики при этих видах нагружения.
В случае же кручения процесс деформирования
протекает вне зависимости от того
поворачивается ли в связи с деформацией
одна часть бруса относительно другой
по часовой стрелке или против нее.
Рис. 3
Вместо аксонометрического изображения принято плоское, как более простое. На рис. 4а показан пример нагружения стержня внешними моментами. Внешние скручивающие и внутренние крутящие моменты принято изображать в виде линии с двумя кружочками. В одном из них ставиться точка, которая обозначает силу, направленную на наблюдателя. Кружок с крестиком обозначает силу, направленную от наблюдателя.
Построение эпюр внутренних крутящих моментов аналогично построению эпюр продольных сил.
2.Задача:
Прямой брус нагружен парами сил (рис. 4а), плоскости которых перпендикулярны оси бруса.
Определить эпюры:
крутящих моментов ;
касательные напряжения
;угол закручивания
.
Решение:
2.1.Определение момент в заделке
Введем прямоугольную
систему координат с центром в точке
и направим ось
вправо. В точке
введем условное жесткое закрепление
(заделку) с реакцией
.
Запишем уравнение равновесия в моментах
относительно оси
для всего стержня:
2.2.Определение крутящих моментов в поперечных сечениях бруса
Разобьем брус на три части и, используя метод сечений, рассмотрим последовательно все эти участки.
2.2.1.Рассечем
брус на участке ВС, отбросим его
правую часть и рассмотрим равновесие
левой части бруса, нагруженной внешним
распределенным моментом
(рис. 4б). Отбросим правую часть, это
означает, что при определении крутящего
момента будем рассматривать внешние
моменты слева от сечения, приложив
предварительно внутренний момент,
направленный, если смотреть из начала
оси
,
по часовой стрелке. Запишем уравнение
равновесия моментов для оставшейся
части:
а) |
|
б)
|
|
в) |
|
г) |
|
Рис.4
Найдем значение
на границах интервала:
Внутренний момент
направлен по часовой стрелки, если
смотреть со стороны внешней нормали.
Поэтому по правилу знаков следует
считать его отрицательным и откладывать
ординаты вниз от нулевой линии эпюры.
В более сложных
случаях нагружения внутренний крутящий
момент
следует прикладывать в положительном
направлении, т.е. направленным, если
смотреть на сечение со стороны внешней
нормали, против часовой стрелки.
2.2.2.Проведем сечение на участке СD, отбросим правую часть бруса и рассмотрим равновесие оставшейся части, нагруженной внешними и внутренним моментами (рис.2в). Запишем условие равновесия:
2.2.3.Рассмотрим
сечение
на участке
DE и, отбросив
правую часть бруса, запишем уравнение
равновесия оставшейся части (рис. 4г).
Получим:
Окончательная эпюра моментов приведена на рис. 4д.
Необходимо обратить внимание на то, что в сечении, где приложены внешние пары, на эпюре имеет место разрыв по оси ординат, равный в масштабе величине приложенной силы. Этот скачек на эпюре условен, поскольку практически внешние пары прикладываются не водном сечении, в на некотором участке по длине бруса, например с помощью шпонок или через какие-либо втулки, насаженные с натягом и пр. Поэтому эпюра по существу справедлива лишь в местах, несколько удаленных от этого скачка, и в связи с этим эпюры иногда строится на концах таких участков пунктиром.