1.2. Алгебры. Алгебраические системы. Модели. Фундаментальные алгебры. Примеры алгебр и алгебраических систем.

1.2.1. Множества с бинарными операциями

Функцию типа f_n:Mⁿ®M называют n-арной операцией на множестве M.

Бинарная операция f₂ называется коммутативной, если для любых элементов a и b выполняется f₂(a,b)=f₂(b,a); более привычна инфиксная запись af₂b=bf₂a.

Операция f₂ называется ассоциативной, если для любых элементов a,b и c выполняется af₂(bf₂c)=(af₂b)f₂c.

Операция f₂ называется дистрибутивной слева относительно операции g₂, если для любых a,b,c выполняется af₂(bg₂c)=(af₂b)g₂(af₂c), и дистрибутивной справа, если (ag₂b)f₂c=(af₂c)g₂(bf₂c).

Алгеброй A называют совокупность множества M с заданными на нем операциями S={f₁,f₂, …}. A=<M,S>, где M – носитель, S – сигнатура алгебры A.

Алгебраическая система отличается от алгебры тем, что на множестве кроме операций задаются еще отношения.

Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем, в которых множество отношений пусто.

Другим частным случаем алгебраических систем являются модели – множества, на которых заданы только отношения.

Алгебра вида A=<M,·>, где · - бинарная операция, называется группоидом.

Полугруппой называется алгебра A=<M,·> такая, что для любых a,b,cÎM выполняется

a·(b·c)=(a·b)·с, (1)

т.е. операция · ассоциативна.

Коммутативной (абелевой) полугруппой называется алгебра A=<M,·> такая, что выполняется (1) и для любых a,bÎM выполняется

a·b=b·a, (2)

т.е. операция · коммутативна.

Другими словами коммутативной полугруппой называется полугруппа, в которой выполняется закон коммутативности.

Группой называется алгебра A=<M,·> такая, что

1. выполняется (1);

2. есть eÎM, такой, что для любого aÎM выполняется

e·a=a, a·e=a; (3)

3. для всех aÎM существует такой элемент a¢ÎM, что

a¢·a=e. (4)

Коммутативной (абелевой) группой называется алгебра A=<M,·> такая, что выполняется (1),(2),(3) и (4).

Другими словами коммутативной группой называется группа, в которой выполняется закон коммутативности.

Если бинарную операцию · называют умножением, то группа называется мультипликативной. В этом случае элемент e называют единицей (обозначение 1), элемент a¢ называется обратным элементом (обозначение a^-1).

Если же групповую операцию · называют сложением, то группа называется аддитивной. В этом случае элемент e называют нулем (обозначение 0), элемент a¢ называется противоположным элементом (обозначение -a).

Кольцом называется алгебра A=<M,f₂,g₂> , где f₂ - умножение, обозначим *, g₂ –сложение, обозначим +, и выполняются следующие условия:

1. условия (1),(2),(3),(4) относительно операции сложения (в качестве операции · выступает операция +), т.е. кольцо является абелевой группой относительно операции сложения, в нем выполняется: a+(b+c) = (a+b)+c – дистрибутивность сложения, a+b=b+a – коммутативность сложения, 0+a=a, a+0=a – есть единственный левый и правый нулевой элемент и эти элементы равны, a+(-a)=0 – каждому элементу найдется противоположный элемент;

2. условие (1) относительно операции умножения, т.е. кольцо является полугруппой относительно умножения, в нем выполняется a*(b*c)=(a*b)*c – ассоциативность умножения;

3. умножение слева и справа дистрибутивно относительно сложения a*(b+c)=(a*b)+(a*c) и (a+b)*c=(a*c)+(b*c).

Если к перечисленным условиям добавить условие a*b=b*a - коммутативность умножения, то алгебру A=<M,*,+> называют коммутативным кольцом.

Свойства колец:

• для кольца можно ввести операцию вычитания a-b=a+(-b), после этого нуль кольца может быть найден как a+ (-a)=a-a=0;

• из закона дистрибутивности следует правило раскрытия скобок (a₀+a₁+a₂+…+a_n)*b= a₀*b+a₁*b+a₂*b+…+a_n*b;

• во всяком кольце выполняется закон дистрибутивности и для разности (a-b)*c=a*c-b*c;

• произведение нуля кольца на любой элемент кольца равен нулю a*0=a*(x-x)=a*x-a*x=0, 0*a=(x-x)*a=a*x-a*x=0;

• для каждого кольца справедливо (-a)*b=-a*b, (-a)*(-b)=a*b.

Таким образом, операции в произвольном кольце обладают многими привычными свойствами арифметических операций над числами. Однако есть и отличия. Например, если арифметическое произведение равно 0, тогда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это свойство справедливо не для всех колец. В некоторых кольцах могут быть такие пары a¹0, b¹0, что a*b=0. Такие элементы a и b называются делителями нуля.

Полем называют коммутативное кольцо A=<M,*,+>, если оно содержит единицу, отличную от нуля, и ненулевые элементы образуют коммутативную (абелеву) группу относительно операции умножения.