1.1.6. Взаимно однозначные соответствия и мощности множеств

В разд.1.1.1 было дано понятие мощности конечного множества. Мощностью конечного множества называется число элементов данного множества. Бесконечные множества также могут быть классифицированы по мощности. Для этого потребуется понятие взаимно однозначного соответствия, введенное в разд.1.1.5.

Два бесконечных множества A и B называются равномощными (обозначение |A|=|B|), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Также для бесконечных множеств A и B, как и в случае конечных множеств, имеют смысл понятия больше (|A|>|B|) и меньше (|A|<|B|). |A|>|B| или A мощнее B, если A содержит подмножество, равномощное B, но A и B не равномощны. |A|<|B| или B мощнее A, если B содержит подмножество, равномощное A, но A и B не равномощны.

Бесконечное множество называется счетным, если между его элементами и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие. Другими словами элементы счетного множества можно пронумеровать натуральными числами {1,2,3,...}.

Например, множество четных чисел является счетным. В данном случае соответствие между множеством натуральных чисел N={1,2,3,...} и множеством четных чисел C={2,4,6,...} устанавливается следующим образом ni=ci/2.

Счетные множества являются самыми «наименьшими» из бесконечных множеств, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество.

Некоторые свойства счетных множеств:

1. Любое подмножество счётного множества конечно или счётно

2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.

3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.

4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.

Несчётное множество это такое бесконечное множество, которое не является счётным.

Множество всех действительных чисел является несчетным. То есть множество вещественных чисел нельзя занумеровать или не существует взаимно однозначного соответствия между множествами вещественных и натуральных чисел.

Итак, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

1.1.7. Отношения на множествах

Подмножество называется n-местным отношением на множестве M.

Если (a₁,a₂,…,a_n)ÎR, то говорят, что a₁,a₂,…,a_n находятся в отношении R.

Наиболее часто рассматриваются отношения при n=2 – бинарные отношения. Для записи бинарных отношений обычно используют инфиксную запись, т.е. вместо (a₁, a₂)ÎR пишут a₁Ra₂. Для сохранения бинарного отношения удобно использовать матрицу размера . Элементы матрицы определяются следующим образом:

Например, отношение "меньше или равно" на множестве M={1,2,3,4} задает матрица

,

отношение "меньше" на том же множестве задает матрица

,

отношение "иметь общий делитель не равный 1" на том же множестве задает матрица

.

Дадим определения некоторых свойств бинарных отношений.

Рефлексивность: Для всех элементов выполняется , обозначение - . Отметим, что главная диагональ матрицы, задающей рефлексивное отношение, содержит только 1.

Антирефлексивность: Для всех элементов не выполняется , обозначение - . Главная диагональ матрицы, задающей антирефлексивное отношение, содержит только 0.

Симметричность: Для всех элементов из того, что следует то, что , обозначение - . Матрица, задающая симметричное отношение, симметрична относительно главной диагонали.

Антисимметричность: Для всех элементов из того, что и следует то, что , обозначение - .

Асимметричность: Для всех элементов из того, что следует то, что не выполняется, обозначение - . Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения.

Транзитивность: Для всех элементов из того, что и следует то, что , обозначение - .

Рассмотрим некоторые виды отношений.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.