1.1.5. Соответствия между множествами и отображение множеств

Соответствием между множествами A и B называется подмножество GÍA´B.

Если (a,b)ÎG, то говорят, что b соответствует a при соответствии G.

Областью определения соответствия G (обозначение пр₁G) называется множество, состоящее из первых компонент пар принадлежащих G:

пр₁G={x|(x,b)ÎG, bÎB}.

Областью значения соответствия G (обозначение пр₂G) называется множество, состоящее из вторых компонент пар принадлежащих G:

пр₂G ={x|(a,x)ÎG,aÎA}.

Если пр₁G=A, то соответствие называется всюду определенным.

Если пр₂G=B, то соответствие называется сюръективным.

Множество всех элементов bÎB, соответствующих элементу aÎA, называется образом a в B при соответствии G:

Образ a в B ={x|(a,x)ÎG}.

Множество всех элементов aÎA, которым соответствует элемент bÎB, называется прообразом b в A при соответствии G:

Прообраз b в A ={x|(x,b)ÎG}.

Пример. Проиллюстрируем введенные понятия. Пусть A={a₁,a₂,a₃}, B={b₁,b₂}. В этом случае прямым произведением множеств A и B является множество A´B={(a₁,b₁), (a₁,b₂), (a₂,b₁), (a₂,b₂), (a₃,b₁), (a₃,b₂)}. Пусть задано следующее соответствие G={(a₁,b₁), (a₂,b₁), (a₂,b₂)}. Соответствия удобно изображать диаграммами. Для данного соответствия диаграмма представлена на рис.1.2.

Областью определения рассмотренного соответствия является множество пр₁G={a₁,a₂}, областью значения - пр₂G={b₁,b₂}.

Соответствие G не является всюду определенным, т.к. пр₁G¹A и является сюръективным, т.к. пр₂G=B.

Образом элемента a₁ в B является множество {b₁}, образом элемента a₂ в B является все множество B={b₁,b₂}, образом элемента a₃ в B является пустое множество.

Прообразом элемента b₁, в А является множество {a₁,a₂}, прообразом элемента b₂, в А является множество {a₂}.

Соответствие называется функциональным (функцией, однозначным соответствием), если образом любого элемента из области определения является единственный элемент из области значения.

Рассмотренное в предыдущем примере (см. рис. ) соответствие не является функциональным, т.к. образом элемента a₂ в B является два элемента {b₁,b₂}.

Пример. Диаграмма, задающая функциональное соответствие представлена на рис.1.3.

Соответствие называется взаимно однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и прообразом любого элемента из области значения является единственный элемент из области определения.

Пример. Диаграмма, задающая взаимно однозначное соответствие представлена на рис. 1.4.

Отображением множества A во множество B (отображением) называется полностью определенное функциональное соответствие между множествами A и B.

Отображением множества A на множество B (сюръективным отображением) называется полностью определенное функциональное сюръективное соответствие между множествами A и B.

Отображение называется инъективным, если прообразом любого элемента из области значения является единственный элемент из области определения.

Если отображение инъективно и сюръективно, то оно называется биективным. Другими словами биективным отображением называется взаимно однозначное соответствие.