Тема 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ

Цели и задачи изучения темы

В данной теме рассматриваются базовые понятия дискретной математики, такие как множество, вектор, соответствия и др.

1.1. Множества. Соответствия, отображения, функции, отношения

1.1.1. Понятие множества и способы его задания

Понятие множества является первичным понятием математики, следовательно, не имеет строгого определения. Под множеством понимают объединение в одно целое различных объектов. Порядок объектов во множестве не важен.

Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества. Для обозначения множеств обычно используют большие буквы, а для обозначения элементов используют малые буквы. Если элемент m принадлежит множеству M, то используют запись mÎM, в противном случае mÏM.

Множество M, содержащее конечное число элементов, называют конечным. Число элементов такого множества называют мощностью множества и обозначают |M|.

Множество, содержащее бесконечное число элементов, называют бесконечным. Бесконечные множества также классифицируются по мощности. Такая классификация будет рассмотрена в дальнейшем после введения понятия взаимно однозначного соответствия.

Множество M не содержащее ни одного элемента называют пустым и обозначают Æ.

Множество A называют подмножеством множества B, если любой элемент A является элементом B. При этом говорят, что B содержит или покрывает A. Это обозначается AÍB.

Пустое множество принято считать подмножеством любого множества.

Множества A и B равны (A=B), если они составлены из одних и тех же элементов (AÍB и BÍA).

Если AÍB и A¹B, то A называют собственным (истинным, строгим) подмножеством B. Это обозначается AÌB.

Множества можно задавать:

• перечислением элементов;

• процедурой, порождающей элементы;

• описанием характеристических свойств элементов.

Перечислением элементов могут быть заданы только конечные множества. Список элементов обычно заключается в фигурные скобки, например, A={a,b,c,d}.

Порождающая процедура описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо из других объектов, например, множество M₂ⁿ =1,2,4,8,… может быть определено двумя правилами:

1. 1ÎM₂ⁿ

2. если mÎM₂ⁿ, то 2mÎM₂ⁿ.

Распространенной порождающей процедурой является образование множества из других множеств с помощью операций над множествами, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

Множество также можно задать описанием характеристических свойств элементов. Например, множество M₂ⁿ образуют целые числа, являющиеся степенями двойки.

В случае, когда свойство элементов множества M может быть описано коротким выражением P(x), то для задания M используют запись M={x|P(x)}, которая читается так M – это множество всех элементов x, обладающих свойством P(x). Например, M₂ⁿ={x|x=2^k,kÎN₀}, где N₀={0,1,2,...} - множество целых неотрицательных чисел.

1.1.2.Операции над множествами

Объединением множеств A и B (обозначение AÈB)называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

AÈB={x|xÎA или xÎB}

Пересечением множеств A и B (обозначение AÇB) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству A и множеству B.

AÇB={x|xÎA и xÎB}

Разностью множеств A и B (обозначение A/B) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.

A/B ={x|xÎA и xÏB}

Симметрической разностью множеств A и B (обозначение ADB) называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат только множеству A или только множеству B.

ADB={x| xÎA и xÏB или xÏA и xÎB}

При осуществлении операций над множествами множества удобно рассматривать как подмножества некоторого универсального множества. Обозначим U - универсальное множество.

Дополнением множества A (обозначение ) называется разность U/A.

={x|xÎU и xÏA}

Операции над множествами удобно иллюстрировать на диаграммах (см. рис.1.1).

1.1.3. Векторы и прямые произведения множеств

Вектор (или кортеж)– это упорядоченный набор элементов. Понятие «вектор» как и понятие «множество» является первичным.

Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами вектора.

В отличие от элементов множества, координаты вектора могут совпадать, и их порядок важен.

Длиной вектора называется число координат вектора.

Для сокращения речи векторы длины 2 называют двойками, 3 – тройками и т.д.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие их координаты равны.

Прямым произведением множеств A и B (обозначение A´B) называется множество всех пар (a,b), таких, что aÎA, bÎB

A´B={(a,b)| aÎA, bÎB }.

Аналогично прямым произведением множеств A₁,A₂,…,A_n называется множество A₁´A₂´…´A_n ={(a₁,a₂,…, a_n) | a₁ÎA₁, a₂ÎA₂,…, a_nÎA_n}.

Если рассматривается прямое произведение одинаковых множеств , то для его обозначения используют следующую запись .

1.1.4. Теорема о мощности прямого произведения множеств. Принцип математической индукции

Теорема. Пусть A₁,A₂,…,A_n – конечные множества и |A₁|= m₁, |A₂|=m₂,…, |A_n|=m_n. Тогда |A₁´A₂´…´A_n|= m₁×m₂×…×m_n.

Доказательство данной теоремы проведем методом математической индукции. Данный метод применим для доказательства утверждений A(n), имеющих смысл для натуральных чисел n и заключается в следующем:

1. Доказываем, что утверждение истинно для n=1, т.е. A(1) – истинно.

2. Предполагаем, что A(k) – истинно, k=2,3,…

3. Исходя из предположения A(k)– истинно доказываем истинность A(k+1). Из данного доказательства следует истинность утверждения A(n), для любого натурального числа n.

В нашем случае для n=1 истинность теоремы очевидна (|A₁|=m₁).

Предположим, что теорема верна для k=2,3,…, т.е. |A₁´…´A_k|= m₁×…×m_k.

Возьмем любой вектор (a₁,…,a_k)ÎA₁´…´A_k и припишем ему справа элемент a_k+1ÎA_k+1. Поскольку |A_k+1|=m_k+1, то это можно сделать m_k+1 различными способами, т.е. получим m_k+1, различных векторов из вектора (a₁,…,a_k). Таким образом, из всех m₁×…×m_k векторов, составляющих множество A₁´…´A_k, приписыванием справа элемента a_k+1ÎA_k+1 можно получить m₁×…×m_k×m_k+1 векторов. Все полученные вектора различны и составляют множество A₁´…´A_k´A_k+1. То есть |A₁´…´A_k´A_k+1|= m₁×…×m_k×m_k+1 - теорема верна для k+1 и, следовательно, верна для любых натуральных n. Что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует .