1.4. Loogika algebra funktsioonide kirjeldamine.

1.4.1. Üldist.

Selleks, et kirjeldada digitaalse süsteemi käitumist, tuleb leida Z_i sõltuvus sisendkoodist X_n-1 ... X₁, X₀.

Väljundsignaalide Z_i sõltuvust sisendkoodist, mis on kirjeldatud loogikaliste operatsioonide abil, nimetakse loogikafunktsiooniks (LF).

Ette anda LF tähendab leida kõik Z_i tähendused n-järgulise sisendkoodi (kahendkoodi) X_n-1 ... X₁, X₀ jaoks.

Kui on n-järguline sisendkood X_n-1 ... X₁, X₀, siis Z_i võib omada 2ⁿ tähendusi.

LF on täielikult määratud, kui on antud tema 2ⁿ tähendust. Kui osa tähendusi on ära jaatud (pole antud), siis on tegemist osaliselt määratud funktsiooniga.

Mõned sisendkoodid ei või kunagi esineda, ja vastavalt LF tähendusi selleks ei anta. Sel juhul kujunevad LF nn fakultatiivsed (omavolilised) tähendused. Sisendkoodid, mille puhul LF omab fakultatiivsed tähendused, on keelatud koodid.

1.4.2. Lf suusõnaline kirjeldus.

Võib, näiteks, nõnda: „Kolme sisendsignaali LF võrdub 1, juhul, kui kas või kaks nendest on 1“.

1.4.3. Lf kirjeldus tõesuse tabeli abil.

On üle loendatud kõik võimalikud sisendsignaalide X_n-1 ...X₁,X₀ kombinatsioonid ja vastavad väljundsignaalide Z_I tähendused.

Näide (*)

1.4.4. LF kirjeldus algebra väljenduse näol.

On olemas kaks LF klassikalist esitamise vormi.

1) Disjunktiivne normaalne vorm (DNV) → elementaarsete loogikaliste korrutiste summa. NB! Elementaarsetes korrutistes argument või tema inversioon võib figureerida ainult üks kord! DNV saab kätte tõesuse tabelist. Koostamise reeglid:

a) Kirjutada välja tabelist X_n-1...X₀ kõik kombinatsioonid, kus

Y = 1. Teha nendest korrutised – ühiku konstituendid.

Märkus: ;

b) Liita kokku kõik ühiku konstituendid.

Ülaltoodud näite (*) jaoks:

See on tegelikult TDNV – „Täiuslik disjunktiivne normaalne vorm“.

2) Konjunktiivne normaalne vorm (KNV) → elementaarsete loogikaliste summade korrutis. Koostame ikka tõesuse tabeli alusel. Koostamise reeglid:

a) Kirjutada välja tabelist kõik X_n-1...X₀ kombinatsioonid, kus

Y = 0 . Teha nendest summad – nulli konstituendid.

Märkus (tähtis!): ;

b) Korrutada oma vahel kõik nulli konstituendid.

Ülaltoodud näite (*) jaoks:

See on tegelikult TKNV – „Täiuslik konjunktiivne normaalne vorm“.

1.4.5. LF nagu kümnendarvude järjestus.

Selleks tuleb järjest kirja panna vastavate ühiku või nulli konstituendide kahendkoodide kümnendarvulised ekvivalendid.

TDNV →

TKNV →

1.4.6. Kuubi kompleksid.

Näide

See on LF geomeetriline esitus.

Lf on ette antud kujul:

1.5. Loogikaelemendid ja skeemid.

On olemas kolm põhilist loogikaelementi (LE):

Nende abil koostame näitele (*) vastava struktuurskeemi:

See struktuurskeem vastab näite (*) TDNV-le.

1.5.1. Duaalsuse printsiip.

Kui võrrelda tõesuse tabelit, mis vastavad tehtele NING ja VÕI, siis on kerge märgata, et kui tehe NING määravates tingimustes kõik vahelduvate ja funktsiooni enda tähendused vahetada nende inversioonide vastu, siis saame postulaadid, mis määravad VÕI tehe. (Postulaat – tõestuseta aktsepteeritav väide)

Kui siis (**)

Kui siis

Tehete NING ja VÕI vastastikuse teisendamise omadus → duaalsuse printsiip.

Funktsionaalselt täielik süsteem (FTS) → LE kogus, mis võimaldab realiseerida suvalise keerukusega LF.

FTS → (NING, EI); (VÕI, EI); (NING, VÕI, EI).

Reaalselt: NING-EI → „Sheffer`i kriips“; VÕI-EI → „Peirce`i nool“

Näide

Operatsioonide NING, VÕI, EI teostamine LE VÕI-EI abil. Vastavalt duaalsuse printsiibile (**) :

kui , siis . Inverteerime esimest avaldist. Seega saame:

→ Tehe NING on asendatav tehtega VÕI-EI.

Sellistest kaalutlustest lähtudes võib näidata, et loogika põhitehted on realiseeritavad ainult LE NING-EI abil.

1.6. Boole`i algebra teoreemid.

Kõik loogikaoperatsioonid alluvad duaalsuse printsiibile.

1)

2) ,

3)

4) ,

5) ----------

6)

7)

8) , → De Morgan

→9) ,

10) ,

11) ,

12)