1. Numbriliste (digitaalsete) seadmete kirjeldus.
1.1. Arvutussüsteemid.
On olemas positsioonilised ja mittepositsioonilised arvutussüsteemid.
Mittepositsiooniline → Rooma süsteem. XXXVII
↑ ↑ ↑
Positsioonilises süsteemis on tähtis numbri asukoht arvus.
Suvaline arv X positsioonilises süsteemis alusega q üldjuhul võib esitada kujul:
kus: Xi → järgutegur (Xi = 0 ... q – 1)
qi → kaalutegur, q → süsteemi alus
Kui (*) ära jätta kaalutegurid qi ja vastavad liitmise märgid, siis saame arvu X lühendatud kirjaliku vormi, mis on samal ajal
arvu X q – kood. Numbri Xi positsiooni number on tema järk.
Järgud, kus q omab positiivset astet, moodustavad arvu Xq terve osa. Järgud, kus q omab negatiivset astet, moodustab, vastavalt, arvu Xq murdosa.
Numbrid Xn-1 ja Xm-1 on vastavalt arvu Xq vanim ja noorim järk.
Arvude kogus, kui positsioonilise süsteemi alus on q, ja on ette antud järkude hulk:
N = qn+m
Järkude kogus, mis on vajalik selleks, et kirja panna suvaline arv Xq alusega q:
n+m ≥ logq(Xq+1) ;
kuna on teada, et kehtib tingimus:
Xq ≤ qn+m – 1
Digitaaltehnikas kasutakse ainult positsioonilist arvusüsteemi.
1.2. Aluse q suuruse valik.
Meie tahame esitada mingit arvu, mis on omaette esitatud positsioonilises süsteemis, elektriliste signaalide abil. Sel juhul me vajame mingit elektrilist seadet, mis formeerib oma väljundil q erinevaid elektrilisi signaale. Kusjuures neid signaale peab oskama identifitseerida! Ja lihtsal viisil!
Selliste seadmete kogus on võrdne järkude hulgaga arvu terves ja murd osades. Selge see, et mida suurem on q, seda vähem läheb vaja seadmeid, aga seadmete keerukus kasvab tohutult.
→ Raske identifitseerida, häirekindlus langeb!
Aluse q valiku kriteerium → riistvara kulutuste minimeerimine, säilitades piisava häirekindluse taseme.
Puht matemaatilise ülesande lahendamine näitab, et aluse q optimaalne suurus on:
q = e = 2,71...
Sellise süsteemi praktiline loomine on väga keeruline ja praegusel ajal tehniliselt ebaotstarbekas.
Digitaaltehnikas kasutakse alust suurusega q = 2.
See on kahendarvu süsteem. Sel juhul figureerivad ainult kaks numbrimärki: 1 ja 0. Arvutustehnikas leiavad kasutamist q = 2, 8, 10, 16.
Üleminek väikesega q-ga süsteemist suurema q-ga süsteemile võib teostada (*) alusel.
Näide |
On vaja ümber kujundada kahendarv X2 = 1011 kümnendarvuks X10 . Vastavalt (*); arvestades, et q = 2 saame:
Üleminek suuremast q väiksema q poole.
Tegevuse järgnevus:
arvu terve osa tuleb jagada uue süsteemi alusega;
arvu murdosa tuleb korrutada uue süsteemi alusega.
Näide |
On vaja ümber kujundada kümmendarv X10= 25 kahendarvuks X2 .
25 : 2 = 12 +1 (X0 = 1)
12 : 2 = 6 + 0 (X1 = 0)
6 : 2 = 3 + 0 (X2 = 0) Seega X10 → X2 = 11001
3 : 2 = 1+ 1 (X3 = 1)
1 : 2 = 0 + 1 (X4 = 1)
Arvude naturaalne rida:
10 16 8 2 10 16 8 2
0 0 0 0 8 8 10 1000
1 1 1 1 9 9 11 1001
2 2 2 10 10 A 12 1010
3 3 3 1 1 11 B 13 1011
4 4 4 100 12 C 14 1100
5 5 5 101 13 D 15 1101
6 6 6 110 14 E 16 1110
7 7 7 111 15 F 20 1111
1.3. Loogikakonstandid ja vahelduvad suurused.
Boole`i algebra operatsioonid.
Mat. aparaat formaalse loogika ülesannete lahendamiseks.
G.Boole`i (1815 - 1864) algebra opereerib ainult kahe mõistega:
→ sündmus on tõeline
→ sündmus on vale
Loomulik on assotsieerida neid märkidega 1 ja 0.
Nimetame neid „loogikaline 1“ ja „loogikaline 0“. Need on loogika konstandid.
Selleks, et kirjeldada digitaalse struktuuri käitumist, tema sisend- ja väljundsignaalidele tuleb vastavusse panna Boole`i vahelduvad, võivad olla ainult:
X = 0 kui X ≠ 1; X = 1 kui X ≠ 0
Boole`i põhioperatsioonid:
Loogikaline
liitmine → „VÕI“, disjunktsioon,
.
Tõesuse
tabel: X1
X2
----------------------------------------
0 0 0
0 1 1
1 0 1 Mitmuste ühendamine!
1 1 1
Loogikaline
korrutamine → „NING“, konjuktsioon, &,
.
Tõesuse
tabel: X1
X2
------------------------------------------
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Loogikaline eitamine → inversioon, täiendamine.
Kui X = 1,
siis
.
Kui X = 0, siis
