5. Теоретический материал и краткие методические указания к выполнению задания 2

Решение задачи на построение линии пересечения поверхности с плоскостью частного положения легко сводится к рассмотренной ранее задаче на построение недостающей проекции линии на поверхности. Это связано с тем, что в том случае, когда секущая плоскость есть плоскость частного положения, линия пересечения поверхности с плоскостью на одной из плоскостей проекций отображается в отрезок, совпадающий со следом секущей плоскости. Иными словами, когда секущая плоскость есть плоскость частного положения, одна проекция линии пересечения имеется и нужно построить лишь две другие проекции.

Прежде, чем рассмотреть примеры построения сечений, покажем, каким образом можно задать плоскость частного положения.

Плоскость

Плоскостью общего положения называется плоскость произвольным образом расположенная по отношению к плоскостям проекций (плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций). Для задания такой плоскости (точного определения положения ее в пространстве) достаточно трех точек. (Плоскость можно задать и другими способами).

Плоскость, которая перпендикулярна одной из плоскостей проекций, называется проецирующей. Поскольку плоскостей проекций три, имеется три разновидности проецирующих плоскостей:

• горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций;

• фронтально-проецирующая плоскость – плоскость перпендикулярная фронтальной плоскости проекций;

• профильно-проецирующая плоскость – плоскость перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Для задания проецирующей плоскости достаточно двух точек. Иными словами – две точки однозначно определяют положение проецирующей плоскости. Именно так (двумя точками) задана проецирующая плоскость в задаче, где нужно построить сечение сферы.

Проецирующая плоскость на одной из плоскостей проекций (на той, к которой она перпендикулярна) отображается в прямую линию. Эта линия называется следом плоскости. След плоскости правомерно рассматривать как проекцию всей плоскости. На чертежах след плоскости часто изображают коротким отрезком увеличенной толщины. Именно так (следом) задана проецирующая плоскость в задаче, где нужно построить сечение цилиндра.

Плоскость, которая параллельна одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня. Поскольку плоскостей проекций три, имеется три разновидности плоскостей уровня:

• горизонтальная плоскость уровня (горизонтальная плоскость) – плоскость параллельная горизонтальной плоскости проекций;

• фронтальная плоскость уровня (фронтальная плоскость) – плоскость параллельная фронтальной плоскости проекций;

• профильная плоскость уровня (профильная плоскость) – плоскость параллельная профильной плоскости проекций.

На рис.5 изображена горизонтально-проецирующая плоскость, заданная различными способами.

Рис.5

На рис.5 горизонтально-проецирующая плоскость  проходящая через точки M и N задана:

а) треугольником АВС (A'B'C', A''B''C'');

б) фронтальным и горизонтальным следом (f_{o} h_o);

в) горизонтальным следом h_o, который можно считать горизонтальной проекцией ' плоскости .

Таким образом, для построения чертежа проецирующей плоскости в соответствии с заданием необходимо построить чертежи точек N и F и через соответствующие проекции точек провести след плоскости.

Построение чертежа цилиндра

Построение чертежа прямого кругового цилиндра можно свести к следующим этапам:

- построение проекций нижнего и верхнего оснований;

- построение проекций очерковых образующих, т.е. построение проекций цилиндрической поверхности.

На рис.6 дано поэтапное построение чертежа прямого кругового цилиндра, у которого нижнее и верхнее основания расположены параллельно горизонтальной плоскости проекций, а ось вращения перпендикулярна

горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция цилиндра есть круг, представляющий собой проекцию обоих оснований, а окружность - это горизонтальная проекция цилиндрической поверхности. Видимым на горизонтальной проекции является верхнее основание.

Фронтальная проекция цилиндра - прямоугольник, у которого А"C" и А₁"C₁" проекции нижнего и верхнего оснований, А"А₁", C"C₁" - проекции очерковых

образующих. Видимой на фронтальной проекции является передняя часть цилиндрической поверхности.

Рис.6

Границей, отделяющей видимую часть от невидимой, являются фронтальные проекции очерковых образующих АА₁ и CC₁.

Профильная проекция цилиндра - также прямоугольник, у которого D"'B"' и D₁"'B₁"' - проекции нижнего и верхнего оснований, B"'B₁"', D"'D₁"' - проекции очерковых образующих. Видимой на профильной проекции является левая часть цилиндрической поверхности. Границей, отделяющей видимую часть от невидимой, являются профильные проекции очерковых образующих BB₁ и DD₁.

На рис.6б показано построение точек 1, 2, принадлежащих поверхности цилиндра. Точка 1 расположена на фронтальной очерковой образующей АА₁, а точка 2 - на передней части цилиндрической поверхности. На профильной проекции точка 2 будет невидима, так как невидима часть цилиндрической поверхности, которой принадлежит точка 2.

С

Рис.7

ечения цилиндра

В сечении цилиндра плоскостью может быть:

а) круг , если секущая плоскость расположена под прямым углом к оси вращения. Диаметр этого круга равен диаметру основания цилиндра;

б) прямоугольник , если секущая плоскость параллельна оси вращения;

в) эллипс , если секущая плоскость наклонена к оси вращения. При этом, если секущая плоскость пересекает все образующие цилиндра, эллипс получается полным. Если же секущая плоскость пересекает одно или оба основания цилиндра, то эллипс получается неполным.

На рис.7 показано построение полного эллипса. Секущая плоскость  является фронтально-проецирующей, поэтому фронтальная проекция эллипса совпадает с фронтальной проекцией " плоскости и определяется отрезком 1"2", который является большой осью эллипса. Точки 1, 2 расположены на фронтальных очерковых образующих . Точки 3, 4 определяют малую ось эллипса сечения. Они расположены на профильных очерковых образующих. Остальные точки являются промежуточными. Построение четырех промежуточных точек на рис.7 показано тонкими линиями.

Сфера

С

Рис.8

ферическая поверхность образуется при вращении окружности вокруг оси, проходящей через ее центр. Принято считать осью сферы горизонтально-проецирующую прямую. На рис.8 прямая i (i', i", i"') является осью сферы. Каждая точка окружности при вращении описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называются параллелями сферы. На рис.8 построена параллель p(p',p'',p''') радиуса Rp.

Сфера на три плоскости проекций проецируется в круг заданного диаметра. Главными линиями сферы являются экватор (е), главный фронтальный меридиан (m₁) и главный профильный меридиан (m₂). На чертеже показаны проекции этих линий.

Экватор и главные меридианы сферы являются границами смены видимости поверхности сферы на чертеже сферы. На горизонтальной проекции видима часть сферы, расположенная выше экватора. На фронтальной проекции видима часть сферы, расположенная перед главным фронтальным меридианом, а на профильной проекции видима часть сферы, расположенная левее главного профильного меридиана.