3.1.2. Задачи на пересечение

К задачам на пересечение относятся задачи на определение точки пересечения прямой с плоскостью, двух плоскостей и т.д.

Задача 3.11.

Построить точку пересечения прямой BK с горизонтальной плоскостью уровня , проходящей через точку A. Показать видимость отрезков прямой на проекциях.

Решение

Строим проекции прямой BK и точки A (рис.3.12).

Плоскость  зададим следами. Ее фронтальный след f₀ проходит через проекцию A₂ параллельно оси Х. Горизонтальный след плоскости отсутствует, т.к. по условиям задачи плоскость  горизонтальная (т.е. п роходит параллельно плоскости проекции ₁ ).

На пересечении проекции B₂K₂ с фронтальным следом плоскости f₀ находим точку T₂. Опустив эту точку по линии связи на проекцию B₁K₁ находим точку T₁ . Точки T₁ и T₂ будут проекциями точки T пересечения прямой BK с плоскостью  .

Определим видимость прямой BK на проекциях. Из фронтальной проекции видно, что на участке KT прямая BK находится выше плоскости . Значит на горизонтальной проекции (вида сверху) отрезок K₁T₁ изобразится видимым, а отрезок B₁K₁ соответственно, невидимым. На фронтальной плоскости проекции ₂ обе части прямой B₂K₂ изобразятся видимыми, т.к. плоскость  расположена горизонтально (т.е. перпендикулярно проецирующим лучам) и не закрывает видимость частей отрезка BK .

Задача 3.12

Построить точку пересечения прямой AE с горизонтально-проецирующей плоскостью  , проходящей через прямую BK. Показать видимость отрезков прямой на проекциях.

Решение

Строим проекции прямых AЕ и BK (рис.3.13). Затем проводим через прямую BK горизонтально-проецирующую плоскость . Горизонтальный след этой плоскости h_0 проходит через горизонтальную проекцию прямой B ₁K₁. Фронтальный след плоскости f_0 проходит перпендикулярно оси Х. На пересечении проекции A₁E₁ и h_0 находим точку T₁, которая будет горизонтальной проекцией точки пересечения прямой с плоскостью. Подняв по линии связи точку T₁ вверх, находим на проекции A₂E₂ точку T₂. Точки T₂ и T₁ будут соответственно фронтальной и горизонтальной проекцией точки T пересечения прямой AE с горизонтально-проецирующей плоскостью . Определим теперь видимость отрезков прямой AE на проекциях. Как видно из чертежа, на участке AT прямая AE находится перед плоскостью , т.е. на плоскости ₂ проекция A₂T₂ будет видимой. Соответственно участок T₂E₂ будет невидимым, т.к. он находится за плоскостью . Проекция A₁E₁ будет вся видимая, т.к. плоскость  располагается вертикально и не закрывает на виде сверху ни одну из сторон отрезка AE.

Задача 3.13

Построить линию пересечения плоскости  (ABK) с горизонтальной плоскостью уровня  , проходящей через точку D. Показать видимость частей плоскости на проекциях.

Решение

Строим проекции плоскости ABK и точки D (рис.3.14).

Горизонтальную плоскость зададим фронтальным следом ƒ_0 .

Горизонтального следа плоскости  нет, т.к. эта плоскость параллельна плоскости проекции ₁ .

П лоскость  пересекается со сторонами треугольника ABK на фронтальной проекции в точках 1₂ и 2₂. По линиям связи находим горизонтальные и проекции этих точек 1₁ и 2₁ .

Прямая 1-2 и будет линией пересечения двух плоскостей. Определим теперь видимые и невидимые стороны плоскости  (ABK). Как видно из фронтальной проекции, часть треугольника A₂1₂2₂K₂ находится выше плоскости . Поэтому на горизонтальной плоскости ₁ (вида сверху) часть проекции треугольника A₂1₂2₂K₂ изобразится видимым. Другая часть треугольника 1₁B₁2₁ будет невидимой, т.к. она находится под плоскостью .

На фронтальной плоскости ₂ обе части проекции треугольника A₂B₂K₂ будут видимыми, т.к. плоскость  расположена перпендикулярно плоскости проекции ₂ и не закрывает собой плоскость  (ABK).

Задача 3.14

Построить линию пересечения плоскости  (AEC) с горизонтально-проецирующей плоскостью , проходящей через прямую BK. Показать видимость на проекциях частей плоскости .

Решение

Строим проекции плоскости  (AEC) и прямой BK (рис.3.15).

Г оризонтальный след горизонтально проецирующей плоскости  (h_0) пройдет через горизонтальную проекцию прямой B₁K₁.

Фронтальный след плоскости ƒ_0 пройдет перпендикулярно оси Х. Две плоскости пересекаются между собой по прямой линии. Для построения этой прямой необходимо найти две точки, лежащие одновременно на плоскостях  и  . Такими точками могут быть точки пересечения сторон треугольника AEC с плоскостью . Например, точки 1₁ и 2₁ будут горизонтальными проекциями точек 1 и 2 пересечения плоскости  со сторонами треугольника AE и EC соответственно. По линиям связи на плоскости ₂ находим фронтальные проекции этих точек 1₂ и 2₂. Прямая 1-2 будет линией пересечения плоскостей  (AEC) и . Определим видимость частей треугольника AEC на проекциях. Из горизонтальной проекции видно, что часть треугольника A₁ℓ₁2₁C₁ находится за плоскостью . Это значит, что часть треугольника A₂1₂2₂C₂ на плоскости ₂ изобразится невидимой. Остальная часть треугольника (Е₂1₂2₂) будет видимой. На горизонтальной проекции обе части треугольника AEC будут видимыми, т.к. плоскость  расположена перпендикулярно плоскости проекций ₁ и не закрывает видимость треугольника на этой плоскости.

Задача 3.15

Построить точку пересечения прямой BK с плоскостью общего положения AEC . Показать видимость отрезков прямой BK на проекциях.

Р ешение

Построим проекции прямой BK и плоскости AEC (рис.3.16).

Проведем через прямую BK вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость . Фронтальный след этой плоскости f₀ пройдет через фронтальную проекцию прямой B₂K₂ . Горизонтальный след плоскости h_0 пройдет перпендикулярно оси Х (его можно и не строить). Плоскость  пересечет плоскость AEC по линии 1-2 (см. Задачу 3.14). На горизонтальной плоскости ₁ прямые 1₁2₁ и B₁K₁ пересекутся в точке T₁. По линии связи на фронтальной проекции прямой B₂K₂ (совпадающей с прямой 1₂2₂) находим проекцию T₂.

Точка T (T₁T₂) будет искомой точкой пересечения прямой BK с плоскостью AEC т.к. она во-первых лежит на прямой BK, во-вторых лежит на прямой 1-2, принадлежащей, в свою очередь, плоскости AEC.

Определим теперь видимые и невидимые стороны прямой BK на проекциях. Видимость определяем по методу конкурирующих точек (см. Задачу 3.9).

В точке 3₁ скрещиваются две прямые - B₁K₁ и A₁C₁. Однако, если сравнить этих двух прямых по их фронтальным проекциям, то видно, что прямая BK расположена выше, чем прямая ЕC (сравни точки 3₂^' и 3₂'). Это значит, что прямая BK на этом участке проходит над плоскостью AEC и, поэтому, на горизонтальной проекции участок прямой K₁T₁ будет видимым. Соответственно, на участке B₁T₁ прямая находится под плоскостью и эта часть проекции будет невидимой. (на участке от B₁ до проекции A₁E₁ прямая будет также видимой, т.к. она выходит здесь за пределы треугольника).

Рассмотрим фронтальную проекцию. В точке 2₂ скрещиваются проекции B₂K₂ и стороны треугольника A₂C₂ . Проведя линию связи из точки 2₂ на плоскость ₁ замечаем, что прямая AC расположена дальше от плоскости ₂ (ближе “к нам”), чем прямая BK. Это значит, что прямая на участке 2₂-T₂ закрыта треугольником и будет невидимой. Соответственно, на участке B₂ - T₂ прямая будет видимой.

З адача 3.16

Построить проекции линии пересечения плоскостей ATC и BKD. Определить видимость плоскостей на проекциях.

Решение

Строим проекции треугольников AEC и BKD (рис.3.17). Для построения прямой пересечения двух плоскостей, необходимо найти две точки, общие для обоих плоскостей.

Такими точками могут быть точки пересечения прямых, принадлежащих одной плоскости, с другой плоскостью. Таким образом, задача сводится к построению точки пересечения прямой с плоскостью точку пересечения прямой BK с плоскостью AEC мы уже находим (см. Задачу 3.14). Повторим эти построения и отметим точку T (T₂T₁). Другую точку M (M₂M₁) найдем на пересечении прямой BD с плоскостью AEC. Методом конкурирующих точек определяем видимые и невидимые части плоскостей на проекциях.

Задача 3.17

Построить проекции точки пересечения прямой BK с плоскостью общего положения , заданной следами.

Решение

Построим проекции прямой BK и плоскости  (рис. 3.18).

Проведем через прямую BK вспомогательную, фронтально-проецирующую плоскость . Фронтальный след этой плоскости ƒ_0 пройдет через проекцию прямой B₂K₂ , а горизонтальный след перпендикулярно оси Х.

На пересечении следов этих плоскостей находим точки M и N. Соединив эти точки получаем проекции линии пересечения плоскостей  и  (M₁N₁ и M₂N₂). Горизонтальная проекция этой линии M₁N₁ пересекается в точке T₁ с горизонтальной проекцией прямой B₁K₁ (фронтальные проекции B₂K₂ и M₂N₂ совпадают). По линии связи на плоскости ₂ находим проекцию T₂. Точка T будет точкой пересечения прямой BK с плоскостью . Методом конкурирующих точек определяем видимость прямой на проекциях.