3. Решение геометрических задач

3.1. Позиционные задачи.

Позиционными задачами называются задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур друг относительно друга. К таким задачам, в частности, относятся задачи на взаимопринадлежность и задачи на пересечение. При решении позиционных задач важно представлять себе пространственное расположение геометрических фигур относительно плоскостей, проекций и друг относительно друга.

Ниже приведены решения типовых позиционных задач. Теоретической базой для решения этих задач служат материалы главы 1.

3.1.1. Задачи на взаимопринадлежность.

К задачам на взаимопринадлежность относятся взятие точки на линии или на поверхности, проведение линии на поверхности или поверхности через данные линии и т.д. При решении задач мы будем рассматривать простейшие геометрические фигуры: точки, прямые линии, плоскости.

Задача 3.1

По заданным координатам (табл3.1). Построить проекции точек А,В,С,Д,Е,К. Определить:

1. Какие точки лежат на плоскостях проекции?

2. Какая точка лежит на оси координат?

1. Какая точка находится выше всех остальных , т.е. наиболее удалена от плоскости ₁?

2. Какая точка наиболее удалена от плоскости ₂?

Таблица 3.1

Xa	Ya	Za	Xb	Yb	Zb	Xc	Yc	Zc	Xd	Yd	Zd	Xe	Ye	Ze	Xk	Yk	Zk
120	90	40	100	50	50	0	30	20	15	0	30	60	0	0	40	70	80

Решение

Построение проекций точек проиллюстрируем на примере точки “К” .

По оси X откладываем координату X_к=40 (рис.3.1) и проводим через полученную точку X_к вертикальную линию связи, на которой откладываем в низ (вдоль оси Y) отрезок Y_K=10 , получаем проекцию K₁. Отложив от точки K_x вверх (вдоль оси Z) координату K_z=80, получаем проекцию K₂ .

Аналогично строим проекции остальных точек (рис.3.2).

Анализируя положения точек в пространстве, можно ответить на остальные вопросы задачи.

1. Точка D лежит на плоскости ₂, т.к. ее координата Y_d=0. Точка С лежит на плоскости ₂ , т.к. ее координата Y_d=0. Точка С лежит на плоскости ₃, т.к. X_c=0;

2. Точка Е лежит на оси X, т.к. у этой точки координаты Y_е и Z_е равны нулю. Тогда две проекции этой точки находятся на оси X;

3. В ыше всех точек находится точка K, у нее наибольшая координата по оси Z (Z_к);

4. Наиболее удалена от фронтальной плоскости ₂ точка А, т.к. у нее наибольшая координата по оси Y (Y_A).

Задача 3.2.

Через точку А провести горизонтальную прямую, длиной 40 мм, а через точку К - фронтально - проецируемую прямую, длиной 50 мм.

Решение

По заданным координатам (табл3.1) строим проекции точек А и К (рис3.3).

Далее рассуждаем следующим образом.

• Если прямая проходит через точку, то ее проекции проходят через соответствующие проекции точки.

• Если прямая горизонтальная, т.е. параллельна плоскости ₁ , то ее фронтальная проекция проходит параллельно оси X, а горизонтальная проекция по длине равна натуральной величине отрезка. Исходя из этого, построение начинаем с горизонтальной проекции. Через проекцию А₁ под произвольным углом проводим прямую M₁N₁ длиной 40 мм (M₁N₁=40). Затем через проекцию A₂ проводим прямую M₂N₂ параллельно оси X , причем точки M₂ и N₂ получены на пересечении фронтальной проекции прямой и линий связи, проведенных из точек M₁ и N₁. Можно провести горизонтальную прямую непосредственно выходящей из точки A, (такой способ проиллюстрирован на примере фронтально-проецирующей прямой KT), но это не принципиально.

Фронтально-проецирующая прямая проходит перпендикулярно плоскости ₂ . Это значит, что ее горизонтальная проекция O₁T₁K₁ проходит перпендикулярно оси Х, а на фронтальной плоскости эта прямая проецируется в точку, причем эта точка сливается с проекцией K₂, т.е. T₂≡K₂. При этом К₁Т₁=|KT|=50.

Задача 3.3

Через точку A провести горизонтальную плоскость уровня γ, а через прямую BK - горизонтально-проецирующую плоскость .

Решение.

Строим проекции точки A и прямой BK (рис.3.4). Плоскости γ и  удобнее всего задать следами у горизонтальной плоскости γ фронтальный след ƒ_ проходит через проекцию точки A₂ параллельно оси Х. Горизонтального следа у плоскости  нет, т.к. она не пересекается с плоскостью проекций ₁ .

Горизонтально проецирующая плоскость  расположена перпендикулярно плоскости ₁ и проходит через прямую BK. Это значит, что ее горизонтальный след h_ проходит через горизонтальную проекцию отрезка B₁K₁ , а фронтальный след плоскости ƒ_ проходит перпендикулярно оси Х.

Задача 3.4

Через точку C провести прямую, параллельную прямой AB.

Решение

По заданным координатам строим проекции точки C и прямой AB (рис.3.5). Если две прямые параллельны между собой, то их одноименные проекции проходят параллельно друг к другу. Исходя из этого, через горизонтальную проекцию точки C₁ проводим прямую ℓ₁ параллельно проекции прямой A₁B₁ (ℓ₁║A₁B₁), а через фронтальную проекцию точки C₂ проводим прямую ℓ₂ параллельно фронтальной проекции прямой A₂B₂ (ℓ₂║A₂B₂). Прямая ℓ (с проекциями ℓ₁ и ℓ₂) проходит через точку C параллельно прямой AB .

Задача 3.5

Построить проекции точки T, лежащей в плоскости треугольника ABC, если известна ее фронтальная проекция T₂ .

Р ешение

По заданным координатам строим проекции плоскости ABC (рис.3.6,а). Для того, чтобы точка лежала на плоскости, она должна лежать на прямой принадлежащей плоскости. Поэтому, на плоскости ₂ через имеющуюся проекцию T₂ проводим произвольную прямую ℓ₂. Эта прямая пересекает стороны треугольника в точках 1₂ и 2₂ (рис.3.6,б). Горизонтальная проекция прямой ℓ₁ пройдет через точки 1₁ и 2₁. Прямая ℓ лежит в плоскости ABC, т.к. она проходит через две точки 1 и 2, лежащие в плоскости АВС.

Опустив по линии связи проекцию T₂ на проекцию прямой ℓ₁, находим горизонтальную проекцию точки T₁. Плоскость ABC не ограничивается рамками треугольника, она выходит и за его пределы. Так, точка M (с проекциями M₁ и M₂) также принадлежит плоскости ABC, т.к. она лежит на прямой ℓ (ℓ_1, ℓ₂), принадлежащей в свою очередь плоскости ABC.

Задача 3.6

Через точку A провести плоскость , параллельную плоскости BKC.

Р ешение

Строим проекции точки A и треугольника BKC (рис.3.7). Плоскость  можно задать любым способом. Удобнее всего его задать двумя прямыми, пересекающимися в точке A. Для того, чтобы плоскость  была параллельна плоскости ABC, эти две пересекающиеся прямые должны быть параллельны двум прямым, лежащим в плоскости ABC, например, сторонам треугольника BK и KC (m║BK , n║KC).

Задача 3.7

В плоскости AKC из точки A провести горизонталь h и фронтальƒ.

Р ешение

Строим проекции плоскости AKC (рис.3.8). Как известно, у горизонтали h фронтальная проекция h₂ проходит параллельно оси Х. Поэтому, вначале проводим из точки A прямую h₂ . По условиям задачи горизонталь h должна лежать в плоскости AKC, т.е. она должна иметь с ней две общие точки. Одной точкой является точка A, другой - точка T, лежащая на пересечений прямой h со стороной треугольника KC. На пересечении h₂ с K₂C₂ находим проекцию T₂, затем - по линии связи на проекции K₁C₁ находим T₁. Тогда горизонтальная проекция h₁ пройдет через A₁ и T₁. Фронталь ƒ начинаем строить с горизонтальной проекции ƒ₁. Она пройдет из точки A₁ параллельно оси Х. Однако, такие пересечения ее с прямой K₂C₂ находятся за пределами чертежа. Поэтому, можно провести в плоскости AKC произвольную прямую ℓ (ℓ₁ и ℓ₂). На пересечении ℓ₁ с ƒ₁ находим точку N₁. Затем по линии связи, на проекции ℓ₂ находим точку N₂. Фронтальная проекция фронтали ƒ₂ пройдет через точки A₂ и N₂ .

Задача 3.8

Построить следы прямой AB .

Р ешение

Строим проекции прямой AB (рис3.9).

Построения начнем с горизонтального следа. Для его нахождения, продлеваем фронтальную проекцию прямой A₂B₂ до пересечения с осью Х (точка M₂), затем из этой точки проводим линию связи вертикально вниз до пересечения ее с горизонтальной проекцией прямой A₁B₁ и находим точку M₁. Эта точка и будет горизонтальным следом прямой AB (M₁≡M).

Для нахождения фронтального следа прямой, продлеваем ее горизонтальную проекцию A₁B₁ до пересечения ее с осью Х и находим точку N₁. Затем из точки N₁ проводим вертикальную линию связи до пересечения с фронтальной проекцией прямой A₂B₂ и находим точку N₂ , которая и будет фронтальным следом прямой AB (N₂≡N). Как видно из рисунка, точка N находится ниже оси Х. Это значит, что прямая AB пересекает плоскость ₂ во второй октанте (т.е. точка N находится ниже плоскости ₁).

Задача 3.9.

Построить следы плоскости  (ABK) .

Р ешение

Строим проекции плоскости ABK (рис.311).

Для построения следов плоскости, достаточно построить следы двух любых прямых, лежащих в этой плоскости. Методика построения следов прямой показана в задаче 3.8. На рис.3.11 показано построение следов прямых BK (точки M и N) и AK (точки T и L). Соединив соответствующие следы этих прямых (фронтальные следы L и N, горизонтальные следы M и T) построим следы плоскости  (h₀ и f₀). При правильном построении оба следа плоскости должны пересекаться на оси Х (точка X). Следы любой другой прямой (например AB), лежащей в плоскости ABK также находятся на соответствующих следах плоскости.

Задача 3.10

Сравнить расположения прямых AE и BD относительно плоскостей проекций.

Решение

Строим проекции прямых AE и BD (рис.3.11).

Сравнивая положение этих двух прямых можно отметить следующее:

1. Две прямые скрещивающиеся, т.к. у них нет общей точки пересечения.

2 . В точке N₂ пересекаются фронтальные проекции этих прямых. Это значит, что в этой точке обе прямые находятся на одинаковой высоте от плоскости ₁. На участке A - N прямая AE расположена выше прямой BD (сравни точки T₂ и T₂), а на участке EN она проходит ниже прямой BD (сравни точки T₂ и T₂^' ), а на участке EN она проходит ниже прямой BD.

3. В точке T₁ пересекаются горизонтальные проекции прямых A₁E₁ и B₁D₁. Значит, в этой точке обе прямые одинаково удалены от плоскости ₂. На участке AT прямая AE расположена дальше от плоскости ₂ (ближе “к нам” ). Правее точки T картина обратная.

Этот метод сравнения расположения прямых в пространстве называется методом конкурирующих точек.