Результаты дисперсионного анализа

Вид дисперсии	Величина дисперсии	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы	Fрасч	Fтабл
Общая Факторная Остаточная	121 33,5 87,5	11 2 9	- 16,75 9,72	1,72	4,26

Расчетное значение F-критерия сравнивается с табличным:

Так как F_расч < F_табл, опыт не подтверждает влияния сменности на число выпущенных деталей за смену, но не доказывает и отсутствие влияния. Опыт необходимо повторить, уравнивая группы по всем факторам, кроме сменности, это уменьшит остаточную дисперсию, или поставить опыт на большем числе групп, что увеличит число степеней свободы.

Пример 2.

Методом дисперсионного анализа установить, как влияет среднегодовая стоимость основных производственных фондов на валовой выпуск продукции при 5%-ном уровне значимости. Сделать выводы.

Таблица 6

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Число предприятий	Стоимость валовой продукции, млн. руб.
3,5 – 4,5 4,5 – 5,5 5,5 – 6,5 6,5 – 7,5 7,5 – 8,5	2 4 6 5 3	1,7 2,0 2,3 2,2 2,0

Общая дисперсия равна 20

n = 2 + 4 + 6 + 5 + 3 = 20

D_факт = (1,7 – 2,1)²_* 2 + (2,0 – 2,1)²_* 4 + (2,3 – 2,1)²_* 6 + (2,2 – 2,1)²_* 5 + + (2,0 – 2,1)²_* 3 = 0,7

D_ост = 20 – 0,7 = 19,3

d_факт = 0,7/ 4 = 0,18

d_ост = 19,3/ 15 = 1,29

F_расч = 0,18/ 1,29 = 0,14 (F_табл = 3,06 по строке – 15, столбцу - 4)

Таблица 7

Результаты дисперсионного анализа

Вид дисперсии	Величина дисперсии	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы	Fрасч	Fтабл
Общая Факторная Остаточная	20 0,7 19,3	19 4 15	- 0,18 1,29	0,14	3,06

Так как F_расч значительно меньше F_табл, то опыт не доказывает влияния среднегодовой стоимости ОПФ на стоимость валовой продукции. А скорее, наоборот, говорит об отсутствии влияния.

Проверим:

F^*_расч = 1,29/ 0,18 = 7,17 (F^*_табл = 5,86 по строке – 4, столбцу - 15)

F^*_расч > F^*_табл

Следовательно, в данном случае опыт доказывает отсутствие влияния среднегодовой стоимости ОПФ на стоимость валовой продукции с 5%-ным уровнем значимости.

Задача 4. «Корреляционно-регрессионный анализ»

Задание: по исходным данным построить уравнение регрессии, описывающее линейную зависимость между Х и Y, проверить его качество, сделать прогноз (прогнозное значение Х равно 110% от среднего Х) и выводы. Выводы, которые должны быть сделаны:

по коэффициенту регрессии

по коэффициенту корреляции

по коэффициенту детерминации

по t-статистике для a и b

по F-критерию

Текст лекции:

Рассмотрим простейшую модель парной регрессии – линейную регрессию. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

или . (1.1)

Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора находить теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора .

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – и . Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров и , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна:

. (1.2)

Т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 1.2):

Рис. 1.2. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков.

Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум функции (1.2), надо вычислить частные производные по каждому из параметров и и приравнять их к нулю. Обозначим через , тогда:

.

(1.3)

После несложных преобразований, получим следующую систему линейных уравнений для оценки параметров и :

(1.4)

Решая систему уравнений (1.4), найдем искомые оценки параметров и . Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы (1.4):

, , (1.5)

где – ковариация признаков и , – дисперсия признака и

, , , .

Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий. Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Математическое ожидание – сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности¹.

Параметр называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.

Формально – значение при . Если признак-фактор не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена не имеет смысла, т.е. параметр может не иметь экономического содержания.

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции , который можно рассчитать по следующим формулам:

. (1.6)

Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: . Чем ближе абсолютное значение к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при имеем строгую функциональную зависимость). Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

, (1.7)

где , .

Соответственно величина характеризует долю дисперсии , вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов.

После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:

. (1.8)

Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе -критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели.

Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»:

,

где – общая сумма квадратов отклонений; – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений); – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.

Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 1.1 ( – число наблюдений, – число параметров при переменной ).

Таблица 1.1

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы
Общая
Факторная
Остаточная

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину -критерия Фишера:

. (1.9)

Фактическое значение -критерия Фишера (1.9) сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы и . При этом, если фактическое значение -критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для парной линейной регрессии , поэтому

. (1.10)

Величина -критерия связана с коэффициентом детерминации , и ее можно рассчитать по следующей формуле:

. (1.11)

В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: и .

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

, (1.12)

где – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Величина стандартной ошибки совместно с -распределением Стьюдента при степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала.

Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение -критерия Стьюдента: которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы . Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как . Поскольку знак коэффициента регрессии указывает на рост результативного признака при увеличении признака-фактора ( ), уменьшение результативного признака при увеличении признака-фактора ( ) или его независимость от независимой переменной ( ) (см. рис. 1.3), то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, . Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.

Рис. 1.3. Наклон линии регрессии в зависимости от значения параметра .

Стандартная ошибка параметра определяется по формуле:

. (1.13)

Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии. Вычисляется -критерий:

, его величина сравнивается с табличным значением при степенях свободы.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции :

. (1.14)

Фактическое значение -критерия Стьюдента определяется как

.

Существует связь между -критерием Стьюдента и -критерием Фишера:

. (1.15)

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогноз при , т.е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения . Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки , т.е. , и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения :

,

где , а – средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения:

.

Пример решения:

Рассмотрим пример. По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи.

Таблица 1.2

Расходы на продукты питания, , тыс. руб.	0,9	1,2	1,8	2,2	2,6	2,9	3,3	3,8
Доходы семьи, , тыс. руб.	1,2	3,1	5,3	7,4	9,6	11,8	14,5	18,7

Предположим, что связь между доходами семьи и расходами на продукты питания линейная. Для подтверждения нашего предположения построим поле корреляции.

Рис. 1.4.

По графику видно, что точки выстраиваются в некоторую прямую линию.

Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу.

Таблица 1.3

									, %
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1,2	0,9	1,08	1,44	0,81	1,038	–0,138	0,0190	15,33
2	3,1	1,2	3,72	9,61	1,44	1,357	–0,157	0,0246	13,08
3	5,3	1,8	9,54	28,09	3,24	1,726	0,074	0,0055	4,11
4	7,4	2,2	16,28	54,76	4,84	2,079	0,121	0,0146	5,50
5	9,6	2,6	24,96	92,16	6,76	2,449	0,151	0,0228	5,81
6	11,8	2,9	34,22	139,24	8,41	2,818	0,082	0,0067	2,83
7	14,5	3,3	47,85	210,25	10,89	3,272	0,028	0,0008	0,85
8	18,7	3,8	71,06	349,69	14,44	3,978	–0,178	0,0317	4,68
Итого	71,6	18,7	208,71	885,24	50,83	18,717	–0,017	0,1257	52,19
Среднее значение	8,95	2,34	26,09	110,66	6,35	2,34	–	0,0157	6,52
	5,53	0,935	–	–	–	–	–	–	–
	30,56	0,874	–	–	–	–	–	–	–

Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии . Для этого воспользуемся формулами (1.5):

;

.

Получили уравнение: . Т.е. с увеличением дохода семьи на 1000 руб. расходы на питание увеличиваются на 168 руб.

Как было указано выше, уравнение линейной регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи – линейным коэффициентом корреляции :

.

Близость коэффициента корреляции к 1 указывает на тесную линейную связь между признаками.

Коэффициент детерминации (примерно тот же результат получим, если воспользуемся формулой (1.7)) показывает, что уравнением регрессии объясняется 98,7% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 1,3%.

Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью -критерия Фишера. Сосчитаем фактическое значение -критерия:

.

Табличное значение ( , , ): . Так как , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем -критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции :

,

,

.

Фактические значения -статистик: , , . Табличное значение -критерия Стьюдента при и числе степеней свободы есть . Так как , и , то признаем статистическую значимость параметров регрессии и показателя тесноты связи. Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и : и . Получим, что и .

Средняя ошибка аппроксимации (находим с помощью столбца 10 таблицы 1.3; ) говорит о хорошем качестве уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

И, наконец, найдем прогнозное значение результативного фактора при значении признака-фактора, составляющем 110% от среднего уровня , т.е. найдем расходы на питание, если доходы семьи составят 9,85 тыс. руб.

(тыс. руб.)

Значит, если доходы семьи составят 9,845 тыс. руб., то расходы на питание будут 2,490 тыс. руб.

Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза

,

а доверительный интервал ( ):

.

Т.е. прогноз является статистически надежным.

Исходные данные и варианты:

1. продуктивность коров и себестоимость молока;

2. продуктивность коров и трудоемкость (затраты труда на 1 ц молока);

3. продуктивность коров и цена реализации 1 ц молока;

4. продуктивность коров и уровень рентабельности производства молока;

5. продуктивность коров и жирность молока;

6. размер производства (среднегодовое поголовье коров) и продуктивность коров;

7. расход кормов на корову и продуктивность коров;

8. размер производства (среднегодовое поголовье коров) и трудоемкость (затраты труда на 1 ц молока);

9. размер производства (среднегодовое поголовье коров) и себестоимость молока;

10. размер производства (среднегодовое поголовье коров) и уровень рентабельности производства молока;

11. размер производства (среднегодовое поголовье коров) и цена реализации 1 ц молока;

12. расход кормов на корову и себестоимость молока;

13. расход кормов на корову и трудоемкость (затраты труда на 1 ц молока);

14. жирность молока и цена реализации 1 ц молока;

15. жирность молока и себестоимость молока;

16. жирность молока и уровень рентабельности производства молока;

17. размер производства (валовой надой) и себестоимость молока;

18. размер производства (валовой надой) и уровень рентабельности производства молока;

19. размер производства (валовой надой) и цена реализации 1 ц молока;

20. доля кормов в рационе коров и продуктивность коров;

21. доля кормов в рационе коров и себестоимость молока;

22. трудоемкость (затраты труда на 1 ц молока) и уровень рентабельности производства молока;

23. трудоемкость (затраты труда на 1 ц молока) и себестоимость молока;

24. доля кормов в рационе коров и жирность молока;

25. доля элиты, элиты-рекорд в стаде коров и валовой надой молока;

26. доля элиты, элиты-рекорд в стаде коров и жирность молока;

27. доля элиты, элиты-рекорд в стаде коров и продуктивность коров;

28. продуктивность коров и стоимость валовой продукции животноводства;

29. трудоемкость (затраты труда на 1 ц молока) и стоимость валовой продукции животноводства.

№ п/п	Среднегодовое поголовье коров, гол.	Валовой надой молока, тыс. ц	Продуктивность коров, кг/гол	Себестоимость 1 ц молока, у.е.	Затраты труда на 1 ц молока, чел.-час.	Расход кормов на корову, ц к. ед.	Жирность молока, %	Доля концентрированных кормов в рационе, %	Доля коров элита и элита-рекорд, %	Средняя цена реализации, у.е./ц	Рентабельность молока, %	Стоимость валовой продукции животноводства, тыс. у.е.
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	3372	102790	3048	36,97	4,07	35	3,83	37,90	17,30	54,76	44,0	5015
2	2187	58836	2690	37,29	5,54	34	3,75	34,30	9,00	59,01	54,2	2756
3	1405	48398	3445	39,86	3,80	44	3,91	30,10	17,00	63,77	56,5	2383
4	1471	47912	3257	33,11	4,63	39	3,97	34,40	34,70	58,11	45,7	2463
5	4865	186199	3827	23,67	2,52	46	3,79	33,60	71,60	39,76	62,7	9063
6	2000	91550	4573	22,47	2,80	51	3,69	39,50	88,80	38,49	65,8	4641
7	2849	118064	4073	29,70	2,97	47	3,76	36,40	60,60	42,39	35,8	5554
8	3163	113306	3582	28,07	3,81	44	3,60	31,00	33,20	43,71	47,7	5068
9	1300	70475	5421	26,41	3,11	64	3,68	39,50	97,30	40,30	49,2	3773
10	2284	30195	3511	29,10	3,30	44	3,62	26,70	52,20	42,81	41,9	3731
11	2322	30357	3891	33,18	4,52	45	4,00	31,20	89,70	51,38	42,5	4578
12	2260	65392	2893	41,60	4,10	37	4,07	27,30	38,70	51,71	16,8	3115
13	1256	57299	4562	31,29	2,64	48	3,67	45,60	97,80	40,21	25,8	4562
14	3023	111507	3689	31,93	3,26	48	3,99	32,80	77,30	41,64	28,2	5920
15	1595	47141	2956	36,08	4,41	42	3,65	29,30	35,20	57,43	51,2	2299
16	1426	67893	4761	30,12	3,24	54	3,67	38,40	72,10	42,90	35,2	3340
17	2752	114526	4162	28,19	3,00	49	3,59	34,60	80,20	39,96	37,2	8081
18	3614	133546	3695	26,94	3,81	44	3,67	30,50	40,00	40,49	45,6	6639
19	3288	126291	3841	27,08	3,40	44	3,65	30,00	60,80	43,11	52,7	6492
20	1849	74077	4006	32,28	3,32	55	3,82	25,70	87,10	44,52	32,0	3928
21	1309	62694	4789	31,42	3,62	54	3,59	42,70	98,10	44,18	34,6	4192
22	2005	62930	3139	30,19	3,83	41	3,66	25,80	48,40	39,15	23,6	3016
23	1808	54350	3006	38,84	5,72	40	4,09	28,90	23,30	44,78	14,7	2620
24	2698	77701	2880	34,67	4,21	38	3,72	15,50	34,00	40,60	13,2	3696
25	4165	127910	3071	49,10	6,03	41	3,68	27,00	39,20	64,43	14,1	2677
26	3212	138726	4319	28,71	2,56	47	3,72	34,40	99,40	32,08	11,7	7368
27	3134	112000	3574	28,83	3,01	43	3,68	36,40	73,50	41,35	37,8	5284
28	2238	93176	4163	28,01	2,59	42	3,72	42,20	89,20	35,37	24,9	10251
29	1603	88127	5498	29,98	2,66	53	3,78	33,50	99,90	39,85	33,1	11019
30	1211	41092	3393	37,14	4,40	44	3,96	33,00	39,50	62,40	68,0	4989

1 Более подробно смотри Приложение A.