Лекции / Теоретические основы теплотехники. Конспект лекций. Ляшков В. И. 2005 г. / Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. 2005 г

Чтобы выявить основную особенность регулярного режима, будем считать, что тело настолько теплопроводно, что распределение температуры в нем практически равномерно и изменяется она только по времени и за время dτ температура тела изменяется на величину –dt.

Запишем теплобалансовое уравнение, учитывая, что все передаваемое телом тепло отдается теплоносителю в результате уменьшения теплосодержания этого тела:

или

Теперь левая часть приведенной формулы зависит только от τ, а правая – только от x. Для некоторого фиксированного момента времени τ величины ϕ и ∂ϕ/∂τ принимают некоторые численные значения и

левая часть формулы (2.28) превращается в константу (ее называют константой разделения). Чтобы решение было не нулевым и по мере увеличения τ величина t не увеличивалась бы бесконечно, а стремилась к некоторому постоянному значению, величина константы разделения должна быть отрицательной. Обозначим ее через – k . Естественно, что и правая часть формулы (2.28) равна – k.

С учетом изложенного уравнение (2.28) можно заменить теперь системой из двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

Интегрирование этих уравнений несложно. Для этого в уравнении (2.29) сначала разнесем переменные:

dϕϕ = −ak2dτ.

Тогда после интегрирования получаем

lnϕ = −ak2τ + C ,

где C – константа интегрирования. Потенцируя полученную формулу, находим

ϕ = exp(−ak2)exp(C) = C1exp(−ak2),

где C1 – пока еще неизвестная произвольная постоянная. Общим решением уравнения (2.30) является выражение

ψ= C2coskx + C3sinkx,

вчем легко убедиться, дифференцируя его по x дважды:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (2.26) в соответствии с формулой (2.27) получаем в виде

где произвольные постоянные C1, C2, C3 и константа разделения k должны определяться из условий однозначности.

2.2.15 Нестационарная теплопроводность неограниченной плоской стенки

В каждой дисциплине столько науки, сколько в ней математики

Э. Кант

dΘ = a ∂2Θ, dτ ∂x2

а значит и общее решение (2.31) будет выглядеть следующим образом:

Чтобы найти константы С1, С2, С3 и k, воспользуемся условиями однозначности. В силу симметрии значение производной (∂Θ/∂x) при x = 0 должно быть равным нулю. Продифференцируем формулу

(2.32):

(∂Θ/∂x) = C1exp(−ak2τ) (−C2ksinkx + C3kcoskx).

При x = 0 sinkx = 0, a coskx =1. Тогда приведенная формула сводится к уравнению

0 = C1exp(−ak2τ)(−0 +C3k 1),

откуда получаем С3 = 0. В результате общее решение несколько упрощается

где через A обозначена произвольная постоянная, A = C1C2 . Запишем теперь дифференциальное уравнение ГУ-3:

αAexp(−ak2τ)coskδ = −λAexp(−ak2τ)(−ksinkδ).

После сокращений и простейших преобразований получаем трансцендентное уравнение, содержащее одну неизвестную – величину k:

ctgkδ = kαλ .

Прежде чем перейти к решению этого уравнения, обычно его видоизменяют следующим образом:

ctgkδ = kαδδλ = αδkδ .

λ

Безразмерный комплекс (αδ) / λ, характеризующий собой отношение термических сопротивлений в зоне контакта тела с жидкостью, называют числом Био. Эта величина в обобщенной форме фиксирует ГУ- 3 и определяет подобие процессов теплопроводности (более подробно о подобии явлений и о числах подобия будет рассказано позже). Обозначим k δ = µ и (αδ) / λ = Bi. Тогда предыдущее уравнение при-

мет вид

На рис. 2.25 приведено графическое решение этого уравнения для некоторого конкретного значения числа Bi. Из рисунка видно, что уравнение (2.35) имеет бесконечное множество корней, µ1, µ2, µ3 , причем с увеличением номера корня i величина его стремится к пределу (i – 1) π. Значения корней µi рассчитаны численным методом на ЭВМ для любых значений числа Bi и приведены в технической литературе [22]. Реализация ГУ-3 позволила нам определить множество констант разделения ki (ki = µi /δ).

Теперь любое частное решение в соответствии с формулой (2.33) принимает вид

аобщее решение определится суммой этих частных решений:

∞∞

Θ= ∑Θi = ∑Ai exp(−Foµi2 )cos(µi X),

i=1 i=1

где для краткости обозначено: X = x/δ – безразмерная относительная координата точки; Fo = (ατ)/δ2 –

значение числа Фурье, определяющее сходственные моменты времени у подобных явлений.

Значения произвольных постоянных Ai найдем, реализуя начальные условия. При τ = 0 Θ = Θ0 и предыдущая формула принимает вид

В правой части все слагаемые суммы, кроме i-гo, равны нулю, поэтому уравнение упрощается:

Находим теперь значения полученных табличных интегралов

=1+ 41µi [sin(2µi)−sin(−2µi)]=1+ sin(2µi) .

Далее из уравнения (2.37) находим неизвестную постоянную Ai:

Еще раз отметим, что бесконечный ряд с увеличением τ (растет число Fo) быстро сходится, поэтому даже при точных расчетах учитывают только три – четыре первых слагаемых этого ряда. При Fo > 0,3 с погрешностью не более 5 % всю сумму можно заменить одним первым слагаемым.

Расчет температуры в любой точке стенки по формуле (2.38) достаточно трудоемок. Поэтому в инженерной практике для решения отдельных задач (при x = 0, X = 0 и x = δ, X = 1) пользуются специаль-

мерная температура).

Полученные результаты можно использовать и для решения задач нестационарной теплопроводности пластин при двумерном или трехмерном температурном поле. При этом используется принцип суперпозиций (наложения полей) и легко доказывается теорема о перемножении решений, в соответствии с которой температурное поле ограниченного параллелепипеда, например, определяется произведением

которые получаются, если мысленно продолжать соответствующую пару параллельных граней.

2.2.16 Метод источников теплоты

Мгновенно сердце молодое горит и гаснет

В нем любовь проходит и приходит вновь

А. С. Пушкин

Ч

асто теплопроводность возникает от действия на поверхности или внутри тела различных источников (или стоков) тепла. Температурное поле, возникающее под действием мгновенного точечного источника внутри неограниченного тела описывается выражением, которое является другим фундаментальным решением дифференциального уравнения теплопроводности:

где Θ = t − t0; t0 – начальная температура тела; Q* – количество выделяемого источником тепла;

R = (x − xи )2 +(y − yи )2 +(z − zи )2 – расстояние между источником тепла I (xи, yи,zи) и исследуемой точкой M(x, y,z). В справедливости этого решения легко убедиться, дифференцируя формулу (2.39) и подстав-

ляя полученные выражения в дифференциальное уравнение теплопроводности, которое в результате превращается в тождество.

Фундаментальное решение (2.39) позволяет для очень многих случаев записать функцию (в виде интеграла), удовлетворяющую дифференциальному уравнению теплопроводности, т.е. решить задачу.

Три основные принципа помогают реализовать идею конструирования решений на основе формулы

(2.39):

1 Источник любой формы, действующий мгновенно, циклически или непрерывно, неподвижный или движущийся можно представить как некую систему точечных мгновенных источников тепла (принцип конструирования источников).

2Температурное поле от каждого точечного источника накладывается на поля других источников

ирезультирующая температура в любой точке тела определяется суммой температур от каждого источника (принцип суперпозиции температурных полей).

3 Процесс распространения тепла в телах ограниченных размеров можно представить как процесс теплопроводности в неограниченном теле, если фактически действующие источники дополнить некоторой системой фиктивных источников или стоков (принцип отражения источников).

Для иллюстрации применения этих принципов рассмотрим решение ряда конкретных задач.

Пусть требуется найти температурное поле в неограниченном теле при действии в нем мгновенного линейного источника тепла, расположенного параллельно оси z (см. рис. 2.26). Такой источник можно представить как множество одновременно вспыхивающих мгновенных источников тепла, расположенных на линии AB. Температурное поле каждого источника описывается формулой (2.39). В результате суперпозиций температура в любой точке тела определится суммой

Интенсивность линейного источника обычно характеризуют количеством тепла, выделяемого на один метр его длины Ql* . Если длина точечного источника ∆z, то Q* = Ql* ∆z . Подставим это выражение в формулу

(2.40), одновременно устремляя ∆z к нулю, a n – к бесконечности. Тогда, вспоминая из математики определение интеграла, можем записать

Здесь ради сокращения чисто математическая задача определения интеграла не рассматривалась, а приведен сразу конечный результат преобразований.

Другая задача: в неограниченном теле параллельно оси z со скоростью wи движется непрерывно действующий точечный источник тепла и требуется определить создаваемое им температурное поле. Такой источник можно представить как множество мгновенных точечных источников, расположенных на линии AB (рис. 2.26) и действующих, как в праздничных гирляндах, поочередно друг за другом в моменты времени τ0 = 0, τ1, τ2, τ3 ... . От каждого такого источника будет возникать температурное поле, описываемое формулой

где τп = τ – τi – продолжительность процесса распространения тепла от момента вспышки τi до текущего момента времени (именно так определялась величина τ в формуле (2.39)); Rи – расстояние от точки вспышки до исследуемой точки пространства. Для разных моментов времени τi это расстояние будет различным, поскольку координата zи источника меняется, принимая значения zи = wиτп . Значит

b

∫Rи = (x − xи)2 + (y − yи)2 + (z − zи)2 .

a

Естественно, что результирующая температура определится суммой всех ti, а если перейти к бесконечно малым промежуткам времени между вспышками τi+1 − τi = dτ – то величиной интеграла

Вопрос о вычислении полученного определенного интеграла оставим без рассмотрения, понимая, что эта математическая задача всегда может быть решена, в крайнем случае – численным методом.

рована, т.е. не пропускает и не отражает тепло. После вспышки источника тепло будет передаваться по всем направлениям, включая и некоторое направление B. Однако, достигнув поверхности тела этот

поток изменит направление и пойдет вдоль поверхности AA.

Удалим мысленно теплоизоляцию, заменив ее таким же полуограниченным телом с источником j2, являющимся зеркальным отражением источника j1 (см. рис. 2.28). В такой системе тел рассмотренный ранее поток продолжит распространение по направлению B уже во втором теле. Одновременно в первом теле будет распространяться симметрич-

ГУ справа: tn,k = f2(∆τk), k = 0, 1, 2, 3, ...;

НУ: ti,0 = f3(∆xi) , i = 1, 2, …, n – 1.

Дифференциальное уравнение теплопроводности одномерного температурного поля при переходе от бесконечно малых к малым конечным приращениям принимает вид

Здесь

Приведенная формула связывает между собой четыре соседние в пространстве температуры по схеме, приведенной на рис. 2.32, которую называют расчетным шаблоном явной схемы. Если начинать расчет с i = 1 и k = 0, то эта схема (или формула (2.41), соответственно) будет содержать только одну неизвестную t1,1. Определив ее, шаблон сдвигают вправо на шаг и рассчитывают следующую температуру t1,2 и т.д. В итоге последовательно определяются все температуры сначала первого временного слоя (k = 1), затем второго (k = 2) и т.д. Недостатком явной схемы является необходимость определенным образом ограничивать шаги ∆τ и ∆x, поскольку доказано, что решение бывает устойчивым только при условии

(a∆τ/∆x2 )≤ 0,5.

Конечно-разностный аналог можно построить и для другого расчетного шаблона (неявная схема), приведенного на рис 2.33. В такой схеме используются значения температур в соседних точках, но не для одного, а для соседних интервалов времени. Алгебраический аналог дифференциального уравнения при этом принимает вид

Отметим, что формула (2.42) по структуре идентична формуле (2.41), но правая часть ее рассчитана для (k +1) -го интервала времени. Для решения задачи формулу (2.42) записывают последовательно для всех

узлов сетки в результате чего получается замкнутая система алгебраических уравнений, которую решают обычно методом прогонки.

Чтобы понять суть и особенности этого метода, проведем сначала несложные преобразования, записав формулу (2.42) в виде

ti,k+1 −ti,k = ∆a∆x2τ (ti+1,k+1 −2ti,k+1 + ti−1,k+1)

и сгруппировав подобные члены по возрастанию номера i: