Лекции / Теоретические основы теплотехники. Конспект лекций. Ляшков В. И. 2005 г. / Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. 2005 г

то получим формулу для расчета q:

q = tж −tδc2 .

α1 + λ

Величину tc1 найдем теперь, воспользовавшись одним из уравнений системы: tc1 = tж – q/α или tc1 = tc2 + q/(δ/λ).

3 Сочетание ГУ-1 + ГУ-4 показано на рис. 2.11. В этом случае известны tc1, δ, λ, λc и (dtc / dx)х = δ . Записав полученное ранее для ГУ-4 дифференциальное уравнение

находим значение производной

Правая часть этой формулы содержит только известные величины и представляет собою некоторую константу, значение которой обозначим через А. Ввиду линейности зависимости t = f (x) значения производной dt/dx одинаковы для любой точки внутри стенки: (dt/dx)х = 0 = (dt/dx)х = δ = dt/dx.

В итоге мы приходим к простейшему дифференциальному уравнению dt/dx = A, интегрирование которого дает

t = Ах + С,

где С – константа интегрирования. Воспользуемся теперь другим граничным условием: при х = 0 t = tc1. Тогда предыдущая формула принимает вид tc1 = C, а общее решение получается таким:

t = Ax + tc1.

Значит tc2 = A δ + tc1. Отметим, что при передаче тепла от стенки в теплоноситель значение константы А отрицательно. В противном случае A > 0. Величину передаваемого теплового потока находим, как всегда, по закону Фурье

q = –λ' dt/dx = –λА.

Интересно рассмотреть и тот случай, когда в зоне соприкосновения стенки и среды имеет место некоторое контактное сопротивление RК, величина которого известна (этот вариант показан на рис. 2.12). Тогда в месте контакта возникает скачок температуры, величина которого зависит от Rк и q. На поверхности стенки будет температура tc2, а на

Q = π(tc1 −tc2) l.

1 ln d2

2λ d1

Чтобы определить вид температурного поля, повторим такое же интегрирование, но до некоторых текущих значений r и t верхних пределов

Тогда получим

Q ln (r/r1) = –2πλl (t – tc1),

откуда выражаем значение t :

Отметим, что удельные тепловые потоки на внутренней и на наружной поверхностях различны, по-

и это неудобно для практических расчетов. Поэтому вводится понятие о линейной плотности теплового потока ql:

ql = Q / l,

величина которой не зависит от радиуса. Связь между qнар, qвн и ql определяется из равенства

qвн F1 = qнарF2 = ql1,

откуда получаем

ql = qвнF1 / l = qнарF2 / l = π d1 qвн = π d2 qнар .

2.2.8 Теплопередача через цилиндрическую стенку

П

ри теплопередаче с обоих сторон стенки имеют место ГУ-3. Для неограниченных стенок (l >> 10d) теплообменом с торцевых поверхностей пренебрегают и считают, что полный тепловой поток, отдаваемый горячим теплоносителем в стенку, равен тепловому потоку, проходящему через стенку и равен тепловому потоку, отдаваемому стенкой в холодный теплоноситель (см. рис. 2.15), т.е. имеет место следующий тепловой баланс

Qα1 = Qλ = Qα2 = Q.

Теперь находим

Как правило, величина α2 с изменением dиз практически не изменяется. Поэтому изменить dкр можно, лишь меняя материал изоляции (изменяя λиз). Объединяя формулы (2.20) и (2.21), найдем ограничение для λиз, гарантирующее эффективную работу изоляции:

λиз ≤ α22d2 .

Впротивном случае уменьшения теплопотерь тоже можно добиться существенным увеличением толщины изоляции, однако при этом большая часть слоя изоляции будет лежать, не принося пользы.

Впоследние годы в связи с динамичными изменениями цены тепла и материалов возрастает роль технико-экономических расчетов тепловой изоляции. Понятно, что с увеличением толщины изоляции

тепловые потери (их стоимость Sт в рублях за весь период эксплуатации) уменьшаются, а стоимость материала изоляции Sм увеличивается. Рис. 2.18 иллюстрирует эти изменения. Поскольку слагаемые имеют противоположный характер изменения, то суммирующая кривая будет иметь минимум. Толщина слоя тепловой изоляции, соответствующая минимальной суммарной стоимости S, называется опти-

мальной толщиной δопт. В любом другом случае мы будем проигрывать либо за счет тепловых потерь, либо за счет увеличения стоимости материала изоляции.

При расчетах многослойной изоляции можно ставить и решать вопрос об оптимальном сочетании толщин каждого слоя, поскольку эффективность и стоимость различных материалов различны. Доказано, например, что тот материал, у которого λиз меньше, следует располагать на горячей стороне стенки, там он работает более эффективно. Более подробно вопросы расчета оптимальной тепловой изоляции рассмотрены в монографии [17].

ηэ = Qор /Qт

называют коэффициентом эффективности оребрения. В справочной литературе [15] можно найти формулы, позволяющие рассчитать величину этого коэффициента для наиболее распространенных форм ребер.

Отношение kор = F2 / F1, показывающее во сколько раз увеличена теплоотдающая поверхность в результате оребрения, называют коэффициентом оребрения.

C = tc + 4qλv R2.

Значит температурное поле внутри стержня описывается формулой

t = − 4qλv r2 +tc + 4qλv R2 = tc + 4qλv (R2 − r2).

Величину tc найдем, записав теплобалансовое уравнение для наружной поверхности стержня,

Qv = Qα или πR2lqv = 2πRlα (tc – tж),

откуда после сокращений выражаем

tc = tж + Rq2αv .

Температура на оси цилиндра (при r = 0) будет наибольшей:

2.2.12 Численное решение задач стационарной теплопроводности

А

налитическое решение задач теплопроводности возможно лишь для тел простой геометрической формы и при простейших граничных условиях. На практике же иногда возникает необходимость определить температурное поле в телах более сложной формы или при таких условиях однозначности, когда температура или условия теплообмена на поверхности тела непостоянны, когда величина λ существенно и нелинейно зависит от t, когда тело неоднородно и величина λ различна в разных точках тела и по разным направлениям.

Чтобы перейти к численным методам, исследуемое тело мысленно разделяют на небольшие объемы простой формы (чаще всего прямоугольной). При этом считают, что в пределах каждого такого объема свойства вещества, мощность внутренних источников и температура остаются постоянными, а изменение температуры происходит скачками на границах каждого объема. Другими словами непрерывный процесс теплопроводности заменяется некоторым дискретным процессом.

Центральные точки выделенных объемов (их называют узлами) образуют внутри тела пространственную сетку. Для любого узла такой сетки на основе теплобалансовых уравнений или путем замены дифференциального уравнения теплопроводности его конечно – разностным аналогом (от бесконечных приращений переходят к малым конечным приращениям) можно получить алгебраические соотношения, в совокупности составляющие замкнутую систему уравнений, для решения которой используются стандартные или специально разработанные методы. Изложенный подход называют методом конечных разностей.

В качестве примера рассмотрим двумерное температурное поле, возникающее в однородной пластине толщиной δ, когда температуры на боковых поверхностях ее различны (см. рис. 2.21). Разделим пластину на элементарные прямоугольники, нанося сетку с шагом ∆x по оси x и ∆y по оси y. Выделим узлы сетки вокруг одного из элементов, лежащего внутри пластины, обозначая их номера вдоль оси x индексом i, а вдоль оси y – индексом j.

Температурное поле такой пластины будет плоским, и дифференциальное уравнение для него принимает вид:

∂2t + ∂2t = 0. ∂x2 ∂y2

конечными величинами ∆t и ∆x:

Здесь отношение ∆t/∆x – величина, близкая к величине проекции температурного градиента на ось x, а выражение ∆(∆t/∆x) представляет собою разницу между ∆t/∆x справа и слева от анализируемого узла. Выпишем значения этих отношений

В итоге дискретный аналог дифференциального уравнения (2.22) представляется в виде

Это уравнение описывает связь между температурами соседних элементов для любого из внутренних узлов сетки. Для узлов, выходящих за границы пластины, температура или известна (заданы ГУ-1), или может быть определена из уравнений, описывающих ГУ. Таким образом, для всех n (n = ij – nкр) неизвестных температур формула (2.23) дает n линейных алгебраических уравнений. Эти уравнения заметно упрощаются, если принять ∆x = ∆y:

Прежде чем говорить о методах решения полученной системы, отметим три важнейших свойства разностных схем: аппроксимируемость, устойчивость и сходимость решения. Первое означает, что при ∆x → 0 и ∆y → 0, т.е. решение системы алгебраических уравнений стремится к решению исходного дифференциального уравнения. Устойчивой называется схема, для которой ошибки округления при уменьшении шагов ∆x и ∆y не приводят к большим искажениям решения. Сходимость означает, что по мере уменьшения ∆x и ∆y решение системы все ближе сходится с истинным решением. Сходимость выступает как следствие аппроксимируемости и устойчивости. Анализ различных конечно-разностных схем на устойчивость и сходимость приведен в [18], [19].

Полученную систему уравнений решают обычно на ЭВМ методом прогонки или путем последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса), о которых речь пойдет позже, теперь же рассмотрим другой оригинальный метод – метод релаксаций. Суть этого метода в следующем. Сначала в узлах сетки записывают ожидаемые, интуитивно выбранные значения температур. Конечно они не будут удовлетворять уравнению (2.24) и вместо равенства нулю в каждом узле сетки мы будем получать некоторый остаток Ro:

Rо = ti+1, j + ti−1, j + ti, j+1 +ti, j−1 −4ti, j .

Величина Ro говорит о том, насколько правильно были выбраны значения температур в окрестностях каждого узла в первом приближении.

Найдем значения Ro для всех узлов. Там, где величина Ro окажется наибольшей, температуры были выбраны наименее удачно и именно для этого узла надо их скорректировать. Для этого наибольшее значение Ro делим на четыре части и результат добавляем к остаткам четырех соседних узлов. После этого остаток в рассматриваемом узле станет равен нулю, но изменятся остатки соседних узлов. Вновь просматривая все остатки, снова выбираем узел, где остаток наибольший и повторяем процедуру сглаживания остатков в этом узле. Повторяя такое сглаживание до тех пор, пока все остатки не станут равными нулю (точнее – некоторой относительно небольшой величине), приходим к решению задачи.