1.3. Гипотеза ж.-б. Фурье

В 1822 г. вышла книга выдающегося французского математика Ж.-Б. Фурье «Аналитическая теория теплоты», в которой изложен метод нахождения нестационарных температурных полей в твердых телах. Отправной точкой всех имеющихся там выкладок является идея (гипотеза) Ж.-Б. Фурье о виде связи между вектором плотности теплового потока с какого-либо места изотермической поверхностиT = const и значением градиента температуры gradT в этом месте.

Фурье предположил, что существует прямая пропорциональность между величинами и gradT, т.е.

. (1.1)

Учитывая разнонаправленность указанных в (1.1) векторов, имеем также

. (1.1)

Чтобы перейти в (1.1) от пропорции к равенству, Ж.-Б. Фурье ввел коэффициент пропорциональностии получил зависимость

, (1.2)

представляющую собой математическую запись его гипотезы.

Величина численно равна

(1.3)

и совпадает с плотностью теплового потока при значении |gradT|, равном 1 К/м.

Фурье назвал коэффициентом теплопроводности материала тела. Зависит величинаот вида материала тела, его пористости, влажности и, что очень существенно, от самой температурыТ. При наличии этой последней зависимости принято представлять (1.2) в виде

. (1.2)

Нетрудно видеть, что в этом случае зависимость между иТстановится нелинейной, что очень осложняет расчет процесса теплопроводности.

Определяется величина экспериментально в виде функции названных выше параметров с использованием формулы (1.3), однако не в столь прямом виде.

Численное значение плотности теплового потока qравно модулю (длине) вектораи определяется по формуле

, (1.4)

где – единичный вектор внешней нормали.

Для вычисления скалярного произведения векторов gradTинадо иметь в виду, что каждый из них в декартовой системе координат равен соответственно

(1.5)

где – орт-векторы,,, и– углы между осямиx, y, zи направлениемсоответственно. В итоге величинаqопределяется по формуле

. (1.6)

Покажем, как надо использовать зависимость (1.6) для нахождения величины qв неограниченной пластине, ограничивающие поверхности которой поддерживаются в процессе теплопроводности изотермическими, так что вектор нормалисовпадает с направлением 0x (рис. 1.3).

В этом случае имеем так называемое одномерное температурное поле в теле, при котором вектор через каждую изотермическую поверхность параллелен 0хили, что то же, параллелен вектору.

Рис. 1.3

Ясно, что в рассматриваемом примере = 0,=/2,=/2,, так что использование (1.6) дает

. (1.7)

Отметим, что величина qполучается положительной, если векторсовпадает с направлением(приведенное на рис. 1.3,араспределение температуры по толщине пластины относится к этой ситуации), и наоборот,q< 0, еслииявляются разнонаправленными векторами (распределение температуры на рис. 1.3,б).

Нетрудно видеть, что в (1.7) величина численно равноtg.