2.3. Установление структуры формул для описания конвективного теплообмена

Для подобия распределения температуры в двух сходственным образом расположенных сечениях натурного и модельного течений необходимо геометрическое подобие областей и подобие распределений скорости и температуры на всех ограничивающих поверхностях.

Пусть, например, соблюдается подобие осесимметричных температурных полей в натурной и модельной круглых трубах (рис. 2.4).

Согласно схеме Нуссельта имеем величины плотности тепловых потоков в поверхность трубы равными:

1. для «натуры»

(2.19)

2. для «модели»

(2.20)

Рис. 2.4

Из формул (2.19), (2.20) следует

(2.19)

(2.20)

Умножим обе части (2.19), (2.20) соответственно наd₁иd₂и получим

(2.19)

(2.20)

Учитывая, что температуры иомываемых поверхностей не являются функцией радиусови, получаем вместо (2.19), (2.20)

(2.19)

(2.20)

Введя безразмерные относительные температуры движущихся сред и безразмерные радиусы по правилу

и, (2.21)

вместо (2.19), (2.20) записываем

(2.19^IV)

(2.20 ^IV)

Очевидно, что подобию распределений искомых параметров в размерном представлении соответствует тождественность их распределений в безразмерном виде. Поэтому правые части формул (2.19^IV) и (2.20 ^IV) равны друг другу, так что приходим к равенству их левых частей

или(2.22)

Если вместо диаметра dввести обозначение характерного размераl₀, то получим также равенство

(2.22)

Безразмерный комплекс l₀/, который содержит в себе искомый коэффициент теплоотдачи, называется числом Нуссельта и обозначаетсяNu (Nusselt).

Итак, следствием подобия температурных распределений в «натуре» и «модели» является равенство составленных для них чисел Нуссельта.

Достаточным же условием для этого подобия при вынужденном движении является равенство критериев Рейнольдса и Пекле, составленных для «натуры» и «модели», так что в этом случае справедлива связь

. (2.23)

Достаточным условием для подобия температурных полей при свободной конвекции является равенство безразмерных комплексов и критериев Пекле, поэтому имеем

.

При свободной конвекции неизвестна характерная скорость w₀. Чтобы ее исключить, умножим друг на друга аргументы для числа Нуссельта:

Получившийся при этом безразмерный комплекс составлен из величин, заданных при постановке задачи о развитии процесса свободной конвекции. Он называется критерием Рэлея и обозначается Ra(Rayleigh) в честь выдающегося физика:

Таким образом, для свободной термической конвекции равенство критериев Рэлея приводит к равенству чисел Нуссельта, так что справедлива зависимость

Nu = f(Ra). (2.24)

При гравитационо-вязкостном течении достаточным условием для подобия температурных полей является равенство критериев Рейнольдса, безразмерных комплексов и критериев Пекле, поэтому имеем

. (2.25)

В приведенных здесь безразмерных аргументах для Nuхарактерная скоростьизвестна для вынужденного движения и не имеет прямого отношения к свободному термическому движению. По этой причине, а также с целью уменьшения числа аргументов в правой части (2.25) умножим, как и в случае свободной конвекции, когда это было совершенно необходимо, безразмерный комплексна критерий Pe и получим, что для подобия распределений и скорости и температуры в рассмотренных течениях достаточно равенства критериев Re и Ra:

. (2.25)

В форме (2.23)–(2.25) аналитически, численно или экспериментально устанавливаются зависимости для описания конвективного теплообмена, называемые критериальными. В них дается связь между безразмерной интенсивностью конвективного теплообмена, представленной в виде числа Нуссельта, и определяющими его критериями подобия.

В структуре формул (2.23)–(2.25) в качестве аргументов для числа НуссельтаNuвыступают критерии подобияRe,Pe,Pr,Ra, используемые для суждения о выполнении достаточных условий подобия исследуемых процессов теплообмена.

Необходимые же условия подобия этих процессов находят свое отражение в том, что зависимости вида (2.23)–(2.25) относят к конкретной геометрической области: к обтеканию пластины, к течению в канале, к обтеканию трубы или пучка труб и т.д. При необходимости в правую часть формул (2.23)–(2.25) вносят сомножители – поправки на влияние особенностей геометрической области.

Так, при течении в трубах вводится функция влияния на интенсивность теплообмена относительной протяженности, при обтекании пучка труб используются две поправки – функции отношения продольного и поперечного шага между трубами к их диаметру и т.д.

Критериальные зависимости относят к конкретным граничным условиям: например, к условиям постоянных или изменяющихся определенным образом в направлении течения жидкости (газа) температуры обтекаемой поверхности, плотности теплового потока через нее и т.д.

В структуре формул (2.23)–(2.25) естественным образом появляются также сомножители – поправки на зависимость плотности, теплоемкости, теплопроводности и вязкости от температуры, координат, времени и др., подобие которых в натурном и модельном явлениях необходимо. На интенсивности конвективного теплообмена наибольшим образом сказывается зависимость динамической вязкости от температуры. Переход от требования совпадения функцийотносительной динамической вязкости от температуры для натуры и модели к их мерамдает в качестве сомножителя-поправки в правую часть (2.23)–(2.25) так называемый температурный фактор, в которомивыбраны при характерных температурах потокаи поверхностисоответственно.

При рассмотрении нестационарных процессов в число аргументов для искомых безразмерных переменных естественным образом вводится относительное (безразмерное) время с выбором в качествеизвестного отрезка времени в периодическом процессе или характеристического отрезка времени в апериодическом процессе. Можно показать, что в апериодических процессах нестационарной теплопроводности или конвективного теплообмена имеем. При этом сравниваемые явления относят к подобным начальным распределениям искомых переменных.