Reprezentarea numerelor reale
Reprezentarea numerelor reale se poate face în virgula fixa sau în virgula mobila.
Reprezentarea numerelor reale în virgula fixa
Pentru reprezentarea numerelor reale în virgula fixa se foloseşte bitul cel mai semnificativ ca bit de semn. Modulul părţii întregi si partea fracţionară au un număr prefixat de biţi pe care se reprezintă si se aplica următoarele reguli:
alinierea în locaţia de memorie se face la virgula virtuala.
daca valoarea parţii întregi este mai mica decât valoarea maxima ce poate fi reprezentata pe biţii alocaţi părţii întregi se adaugă la stânga zerouri suplimentare.
daca valoarea parţii întregi este mai mare decât valoarea maxima ce poate fi reprezentata pe biţii alocaţi părţii întregi se pierd cifrele cele mai semnificative.
daca valoarea părţii fracţionare este mai mica decât valoarea maxima ce poate fi reprezentata pe biţii alocaţi părţii fracţionare se adaugă la dreapta zerouri nesemnificative.
daca valoarea parţii fracţionare este mai mare decât valoarea maxima ce poate fi reprezentata pe biţii alocaţi parţii fracţionare se pierd cifrele cele mai nesemnificative.
Exemplu
Sa presupunem ca se folosesc 2 octeţi (16 biţi) pentru reprezentarea numerelor reale, din care bitul de rang 15 va fi folosit pentru semn, 6 biţi vor fi folosiţi pentru reprezentarea parţii întregi si 9 biţi pentru reprezentarea parţii fracţionare.
Numărul 19.270751953125 are reprezentarea binara (10011.010001010101). Reprezentarea
acestui număr va fi:
Numărul negativ -19.270751953125 are reprezentarea binara ca si cea a numărului pozitiv, cu
deosebirea ca bitul de semn este 1:
In schimb, 243. 270751953125 are reprezentarea binara (11110011,010001010101) si partea
întreaga a numărului este mai mare decât valoarea maxima reprezentabilă pe cei 6 biţi alocaţi
parţii întregi. Astfel, acest număr se va reprezenta sub forma:
producându-se o aşa-numita depăşire, adică pierzându-se 2 biţi cei mai semnificativi, iar numărul
reprezentat este de fapt 51. 270751953125.
Reprezentarea în virgula mobila a numerelor reale este un tip superior de reprezentare, astfel conceputa încât la depăşire se pierd cifrele cele mai puţin semnificative. Aceasta reprezentare se bazează pe faptul ca orice număr real x se poate scrie sub forma: x = ±0.m× pe unde m este mantisa numărului, b este baza de numeraţie, iar e este exponentul. In notaţia ştiinţifică, numerele reale se notează sub forma: ± mantisa C baza exponent
Exemple:
Scrierea valorilor reale sub forma e x = ±0.m× b este o scriere cu mantisa subunitara, în baza 10.
Orice valoare reala poate fi scrisa însă si sub forma:
x = ± 1.m×2e
care înseamnă scrierea numărului în baza 2, cu mantisa între 1 si 2, m fiind partea fracţionara a mantisei. Valorile date mai sus ca exemplu se scriu în baza 2 sub următoarea forma:
Reprezentarea în virgulă mobilă foloseşte scrierea numerelor binare în formă normalizată ( Astfel 1011=1,011·23; 0,00101=1,01·2-3)
Conform standardului IEEE, se utilizează patru forme de reprezentare a numerelor în virgulă mobilă: simpla precizie – pe 32 poziţii binare (biţi), dubla precizie – pe 64 biţi, dubla precizie extinsă – pe 96 biţi şi quadruplă precizie – pe 128 biţi. Reprezentarea pentru număr include trei cîmpuri:
cîmpul S pentru semn cu lungimea de o poziţie binară
cîmpul pentru caracteristică cu lungimea de 8 biţi – pentru simpla precizie, de 11 biţi – pentru dubla precizie şi de 15 biţi pentru dubla precizie extinsă şi quadruplă precizie.
Cîmpul pentru partea fracţionară f a mantisei, aliniată la stînga, cu lungimea de 23 biţi – pentru simpla precizie, de 52 biţi – pentru dubla precizie, de 80 biţi – pentru dubla precizie extinsă şi 112 – quadruplă precizie.
Reprezentarea grafică:
S |
Caracteristică (C) |
Mantisa (f) |
|
Semn |
Caracteristică |
Mantisă |
Total |
Simpla precizie |
1 |
8 |
23 |
32 |
Dubla precizie |
1 |
11 |
52 |
64 |
Dubla precizie extinsă |
1 |
15 |
80 |
96 |
Quadrupla precizie |
1 |
15 |
112 |
128 |
Valoarea caractersiticii C se determină conform formulei
Valoarea minimă a acaracteristicii este 0, iar valoarea maximă se determină reieşind din numărul de poziţii binare alocate pentru reprezentare. Pentru simpla precizie ea este 28-1=255, pentru dubla precizie 211-1=2047, pentru dubla precizie extinsă şi quadruplă precizie 215-1=32767. Cînd C=0, numărul reprezentat este 0.
Exemplu: Să se reprezinte în virgulă mobilă simplă precizie numărul 39. Avem
(39)10=(100111)2=(1,00111·25)2
C=5+127=132=(10000100)2
Şi reprezentarea va fi:
Biţii |
|||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
30 |
|
|
|
|
|
|
23 |
22 |
|
|
|
|
|
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Unele caracteristici ale formelor d ereprezentare a datelor numerice în virgulă mobilă.
Forma de reprezentare |
Numărul de poziţii binare |
Domeniul de reprezentare(±) |
|||
Total |
Caracteristica |
Mantisa |
Cel mai mic număr pozitiv, ≈ |
Cel mai mare număr pozitiv, ≈ |
|
Simpla precizie
|
32 |
8 |
23 |
10-38 |
1038 |
Dubla precizie
|
64 |
11 |
52 |
10-308 |
10308 |
Dubla precizie extinsă |
96 |
15 |
80 |
10-4932 |
104932 |
Quadrupla precizie |
128 |
15 |
112 |
10-4932 |
104932 |