Семинар 7

Обратная матрица, ранг матрицы, группы матриц.

Вводная информация

I. Обратная матрица.

Определение. Матрица называется обратной к матрице , если выполняется условие .

Определение. Матрица, которая имеет отличный от нуля определитель, называется невырожденной матрицей. В противном случае она называется вырожденной.

Теорема. Любая невырожденная матрица имеет обратную к ней матрицу.

II. Способы вычисления обратных матриц.

Опишем алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Вычисляем определитель матрицы . Если , то обратная матрица не существует. Если же , продолжаем вычислять обратную матрицу.

2. Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы .

3. Формируем из них матрицу

.

4. Транспонируем эту матрицу и находим присоединенную (союзную) матрицу к матрице

.

5. Деля присоединенную матрицу на определитель матрицы , вычисляем обратную матрицу

.

6. Проверяем соотношение .

Пример. Найдем матрицу, обратную к матрице .

1. Вычисляем определитель матрицы . Матрица является невырожденной, обратная матрица существует.

2. Вычисляем алгебраические дополнения: , , , , , , , , .

3. Построим матрицу из алгебраических дополнений

.

4. Транспонируем эту матрицу и находим присоединенную матрицу

.

5. Делим эту матрицу на определитель матрицы , получаем обратную матрицу

.

6. Проверяем равенство и убеждаемся в правильности ответа.

При вычислении обратных матриц к матрицам большой размерности удобно использовать метод Гаусса. Сформируем новую прямоугольную матрицу размерности , добавив справа к матрице единичную матрицу той же размерности, т.е. . Пользуясь только элементарными преобразованиями над строками, изменим вид матрицы таким образом, чтобы на месте матрицы появилась бы единичная матрица . Тогда на месте единичной матрицы в сформируется обратная к матрица .

Элементарными преобразованиями матрицы считаются следующие преобразования:

1. перестановка строк (столбцов);

2. умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3. прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Найдем обратную матрицу к матрице методом Гаусса. Сформируем матрицу . Вычтем из третьей строки первую и, далее, вычтем вторую строку из первой. Получим матрицу . Умножим на 2 первую строку и вычтем ее после умножения из второй строки . Умножим вторую строку на (-1) и прибавим ее к первой и к третьей строкам . Умножим третью строку в начале на 11 и вычтем ее из первой строки, затем умножим ее на 7 и вычтем ее из второй строки. В результате всех этих преобразований получим . Видим, что на месте единичной матрицы появилась матрица , обратная к матрице .

При обращении матрицы методом Гаусса мы, фактически, решаем матричное уравнение , где матрицы и - матрицы-столбцы

, .

Запишем это уравнение в виде . Умножение рассматриваемого уравнения слева на обратную матрицу ( позволяет найти матрицу : . Видим, что при решении матричного уравнения на месте матрицы появилась единичная матрица, а единичная матрица преобразовалась в обратную матрицу .

Рассмотрим еще один способ обращения матрицы. Пусть матрица может быть разбита на блоки (подматрицы)

такие, что матрицы и являются невырожденными. Разобьем матрицы-столбцы и также на подматрицы

, ,

при этом число строк в матрицах и должно совпадать с числом столбцов в матрице , а число строк в матрицах и - с числом столбцов в матрице . Запишем матричное уравнение в виде , что эквивалентно двум уравнениям

,

.

Выразим матрицу из второго уравнения . Подставим ее в первое уравнение или . Введем обозначение , тогда . Подставим теперь в формулу для найденное выражение для матрицы : или . Итак мы получили две формулы

,

,

которые можно объединить в одну

и записать в виде , где

является обратной матрицей к матрице . Очевидно, что при таком обращении матрицы нет необходимости обращать матрицы большой размерности. Даже в нашем случае размер обращаемых матриц сокращается примерно в два раза. Данный способ обращения матриц удобен, если необходимо найти обратную матрицу в аналитическом виде.

Перечислим свойства обратной матрицы:

1. .

2. .

3. .

4. Обратная матрица к симметричной матрице также симметричная матрица; обратная матрица к антисимметричной матрице также антисимметричная матрица.