6.7. Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба
Кривая у = (х) называется выпуклой (вогнутой) на некотором интервале, если она расположена ниже (выше) касательной, проведенной в произвольной точке интервала.
Точки непрерывной кривой, в которых существует определенная касательная и кривая меняет направление выпуклости, называются точками перегиба.
Если вторая производная (х) > 0, ((х) < 0) на некотором интервале, то кривая у = (х) вогнута (выпукла) на этом интервале.
Необходимое условие существования точки перегиба.
Если х0 является точкой перегиба кривой, то (х0) = 0.
Достаточное условие существования точки перегиба. Если вторая производная (х) непрерывной функции меняет знак при переходе через х0 , то точка х0 является точкой перегиба кривой.
Пример. .
Находим вторую производную функции у = (2х2 2х 4) = 4х 2, находим критическую точку 2-го рода, приравнивая у к нулю,
4х
–2 = 0, х = 0,5. Исследуем знак у:
на интервале ( ;
0,5) у
< 0 и кривая выпукла; на (0,5; )
у
> 0, кривая вогнута. При переходе через
х = 0,5 произошла смена знака у,
значит, х = 0,5 является точкой перегиба,
ут.п.=
–
.
6.8. Асимптоты графика функции
Асимптотой графика функции у = (х) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние между точками графика и прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точек графика от начала координат.
Различают
вертикальные, горизонтальные и наклонные
асимптоты. Если хотя бы один из пределов
= ± ,
то прямая х = х0
– вертикальная асимптота.
Вертикальные асимптоты следует искать
в точках разрыва функции y
= f
(x).
Если
,
то прямая y
= b
горизонтальная асимптота.
Прямая у = kx + b является наклонной асимптотой графика кривой у = (х), если существуют конечные пределы
k=
и b=
.
6.9. Полная схема исследования функции
При исследовании функции и построении ее графика используется следующая схема:
область определения функции;
нахождение асимптот графика;
точки пересечения графика с осями координат;
четность, нечетность;
периодичность;
интервалы монотонности, экстремумы;
выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
Пример. у= х3 – х2 – 4х + 1.
D: (–, ) – область определения.
Вертикальных асимптот нет, т.к. функция определена на всей оси Ох.
,
горизонтальной асимптоты нет.
Найдем наклонную асимптоту у = kx + b,
k=
=
=
=,
наклонных асимптот нет.
При х = 0, у = 1, у = 0, х3 – х2 – 4х + 1 = 0.
Имеем
(–х) –(х) и (–х) (х), функция не является ни четной, ни нечетной.
Периодичностью не обладает.
6, 7. Пункты рассмотрены ранее.
Для
более точного построения графика функции
возьмем дополнительные точки: при х =
3, у = – 2; при х = –2, у =
.
Строим график в системе координат Оxy.
y
x |
Примеры для самостоятельной работы
Исследовать функции и построить графики:
у = 2х3 – 3х2 + 1. 2. у = х4 – 2х2 + 3.
3.
. 4.
.
5.
.