6. Производная и дифференциал

6.1. Производная функции

Производной функции у = f(x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

у = = .

Операция нахождения производной f (x) называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной: производная f (x₀) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой f(x) в точке x₀ , то есть k = tg  = f (x₀).

Уравнение касательной имеет вид:

у  f(x₀) = f (x₀) (x  x₀ ).

Таблица производных и основные правила дифференцирования:

1. C  = 0 2. (U + V)  = U  + V 

3. (UV)  = U  V + U V  4. (CU)  = C U 

5. 6.

7. (xⁿ)  = n x ^n-1 8. x  = 1

9. 10.

11. (a ^x)  = a ^x ln a 12. (e ^x)  = e ^x

13. (log _a x) = 14. (ln x)  =

15. (sin x)  = cos x 16. (cos x)  = – sin x

17. (tg x)  = 18. (ctg x)  =

19. (arcsin x)  = 20. (arccos x)  =

21. (arctg x)  = 22. (arcctg x)  =

Примеры: Найти производные функций:

1) у = х³ + 5е ^x + sin x.

По формулам (2), (4), (7), (12), (15) имеем:

у  = (x³ + 5e ^x + sin x) = (x ³) + (5e ^x) + (sin x) = 3x² + 5e ^x + cos x

2) y = (x⁴  6x² + 1) ln x.

По формулам (1) – (3), (7), (14) имеем

у  = (х⁴ 6х² + 1) ln x + (x⁴ 6x² + 1) (ln x) = (4x³12x) ln x +

+ (x⁴ 6x² +1) .

6.2. Производная сложной функции

Если y есть функция переменной u, а переменная u есть функция переменной x, то y есть функция переменной x, то есть y = f (u), u= (x), y = f(u(x)) называется сложной функцией.

Производная сложной функции определяется по формуле:

у  = f _u ∙ u _x. (23)

Примеры. Найти производные функций:

1) y = cos (x²).

По формулам (23), (16), (7) имеем:

у =  sin (x²) (x²)=  sin (x²) 2x =  2x ∙ sin(x²).

2) y = arctg (e ^2x).

По формулам (23), (21), (12), (4) имеем

у = (e ^2x)= e ^2x (2x) = .

3)

По формулам (23), (17), (9), (14), (16), (4) имеем

6.3. Производные высших порядков

Производная от производной y = f (x) называется второй производной, то есть y  = (f (x)) = f (x).

Производная n-ого порядка – это производная от производной (n  1) порядка

f ⁽ⁿ⁾(x) = (f (x)) .

Пример. Найти производную второго порядка: у = е .

Находим первую производную у = 3е ^3х, затем

у  = (3е ) = 3е ∙ 3 = 9е .

6.4. Дифференциалы функции

Дифференциалом dy функции у = f(x) называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной х:

dy = f (x) x

Так как dx = x, то dy = f  (x) dx, поэтому f (x) = .

Геометрически дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции у = f(x).

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.

Дифференциалом второго порядка d²y функции у = f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции

d²y = d(dy) = f (x) dx².

Пример. Найти дифференциалы функции:

у = sin x.

Найдем dy = f (x) dx = cos x dx, затем d²y = d (dy) = – sinx dx².

6.5. Правило Лoпиталя

Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

= .

Пример. = = = = = 0.

Применили правило Лoпиталя дважды.

Правило Лoпиталя позволяет раскрыть все виды неопределенностей и может быть применено несколько раз.

Примеры для самостоятельной работы

1. Найти :

а) у = (х²  3х + 5)⁴; б) у = arcsin e ^5х; в) у = log (x  cos x).

2. Найти dy функции:

а) у = 2 ^{sin (3x + 1)}; б) у = sin³(x + ).

3. Найти d²y:

а) y = sin²x; б)

4. Найти пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

6.6. Возрастание и убывание функции.

Локальные экстремумы

Окрестность точки х₀ – это интервал, содержащий эту точку.

Если для всех х из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство (х)<(х₀) ((х)>(х₀)) , то х₀ называется точкой локального максимума (минимума).

Если производная функции положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция на этом интервале возрастает (убывает).

Необходимое условие экстремума. Если в точке х₀ дифференцируемая функция у = имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, т.е. .

Точки, в которых равна нулю или не существует, называются критическими.

Достаточное условие экстремума. Если при переходе через точку х₀ производная меняет свой знак с плюса на минус, то х₀ – точка максимума функции у = , если с минуса на плюс, то х₀ – точка минимума.

Пример. .

Функция определена в интервале (–, ). Определим интервалы монотонности и точки локального экстремума.

у = 3х²  2х – 4 = 2х²  2х  4.

Находим критические точки, приравниваем у к нулю.

2х²  2х – 4 = 0, х² – х – 2 = 0, х₁ = 1, х₂ = 2.

На числовой прямой отметим критические точки и определим знак у на полученных интервалах.

y

y

На интервалах (; 1) и (2; ) у > 0 и функция возрастает; на интервале (1; 2) у < 0 и функция убывает.

При переходе через х = 1 производная у меняет свой знак с плюса на минус. Значит, х = 1 точка максимума, у_max = . При переходе через х = 2 производная у меняет знак с минуса на плюс. Значит, х = 2 точка минимума, у_min = .