2.4. Скалярное произведение векторов, его свойства

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Обозначается :

или .

Свойства скалярного произведения:

1) - переместительный закон;

2) - распределительный закон;

3) - сочетательный закон;

4) скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны, т.е. .

5) скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

Пусть даны два вектора и . По свойствам 4 и 5 имеем ; .

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат

.

Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов и :

.

Косинус угла между двумя векторами определяется по формуле:

.

Проекция вектора на направление, заданное вектором , вычисляется по формуле

.

Пример. Найти длину вектора , если , , угол  между векторами и равен 60.

По свойству 5:

=

= = 99 + 1234cos60 + 416 =

= 81 + 72 + 64 = 217, .

Пример. Найти косинус угла между векторами = (2; 1; 2) и

= (8; 4; 0).

= .

Пример. При каком значении  векторы и взаимно перпендикулярны?

Условие перпендикулярности записывается: или 10 20 = 0,  = 2.

Пример. Даны векторы , , . Найти , , .

Имеем = (1; 2; 2); = (2; 1; 2); (10; 4; 2). Применим формулу ,

.

.

.

.

.

Примеры для самостоятельной работы

1. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах (3; 5; 8) и = ( 1; 1; - 4).

2. Найти угол между единичными векторами и , если векторы и перпендикулярны.

3. Даны вершины треугольника А(4; 1; 0); В(2; 2; 1) и С(6; 3; 1). Найти проекцию стороны АВ на АС, угол между сторонами АВ и АС.

4. При каком  векторы и взаимно перпендикулярны?

5. Известно, что , . Найти скалярное произведение векторов и , если  = 135.

6. Даны векторы = (2; 1; 3); = (4; 3; 5), = (7; 2; 6). Найти вектор , удовлетворяющий условиям: , , .

3. Прямая линия на плоскости

Если известны точка М₀(х₀, у₀) на прямой l и направляющий вектор = (m, n), параллельный этой прямой, то можно записать каноническое уравнение прямой

.

Если известны точка М₀(х₀, у₀) на прямой l и вектор = (А, В), перпендикулярный к ней, то можно записать уравнение

А(х х₀) + В(у у₀) = 0.

Вектор = (А, В), перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой. Раскрывая скобки и преобразуя, получим общее уравнение прямой

Ах + Ву + С = 0.

Если С = 0, то прямая проходит через начало координат, ее уравнение Ах + Ву = 0.

Если А = 0, то прямая параллельна оси Ох, ее уравнение .

Если В = 0, то прямая параллельна оси Оу и .

Если А = С = 0, то у = 0 – ось Ох.

Если В = С = 0, то х = 0 – ось Оу.

Пусть даны уравнения двух прямых и . Тогда прямые

1. совпадают, если ;

2. параллельны, если ;

3. перпендикулярны, если A₁А₂ + B₁В₂ = 0.

Для нахождения точки пересечения прямых решают систему уравнений

Уравнение вида у = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, где k = tg - тангенс угла наклона прямой, b – координата точки пересечения прямой с осью Oу. Если даны уравнения двух прямых у = k₁x + b₁; у = k₂x + b₂, то

а) угол между прямыми определяется по формуле

;

б) если k₁ = k₂ , то прямые параллельны;

в) если , то прямые перпендикулярны.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀, у₀) с угловым коэффициентом k имеет вид:

.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂):

.

Расстояние от точки М₀(х₀, у₀) до прямой Ах + Ву + С = 0 вычисляется по формуле

.

Пусть даны точки А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂). Координаты точки М, делящей отрезок АВ в заданном отношении вычисляются по формулам

, .

Пример. Даны точка М(3; 4) на прямой l и направляющий вектор =(2; 5) этой прямой. Написать каноническое уравнение прямой.

Уравнение имеет вид .

Пример. Даны точки М₁(4; 2) и М₂ (3; 1). Написать уравнение прямой, проходящей через точки М₁ и М₂ .

Уравнение прямой записывается или , 3х  12 = у  2, 3х + у  10 = 0.

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку

А (1; 2) параллельно прямой 3х + 4у – 5 = 0.

Найдем угловой коэффициент данной прямой, выразим

, .

Искомая прямая имеет уравнение .

Подставим координаты точки А в это уравнение: ,

и .

Пример. Определить взаимное расположение прямых х + 2у 3 = 0 и 5х + 10у  2 = 0.

Имеем . Прямые параллельны.

Пример. Найти расстояние от точки М(1; 1) до прямой

4х  3у + 6 = 0.

Искомое расстояние находится по формуле .

.

Примеры для самостоятельной работы

1. Найти проекцию точки А(1; 2) на прямую 3х  5у  21 = 0.

2. Даны вершины параллелограмма А(9; 3), В(4; 2) и С(7; 5). Найти уравнения диагоналей.

3. Дан треугольник с вершинами А(5; 4), В(1; 3) и С(3; 2). Найти:

а) уравнение высоты ВD;

б) уравнение меридианы ВМ;

в) угол между высотой и медианой ВМ.

4. Доказать, что три точки А(3; 5), В(1; 1) и С(3; 4) лежат на одной прямой.

5. Стороны треугольника заданы уравнениями: 7х  6у + 9 = 0;

5х + 2у  25 = 0; 3х + 10у + 29 = 0. Найти координаты вершин и уравнения высот треугольника.