1.3. Определители. Свойства определителей

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, называемое определителем или детерминантом.

Для матрицы определитель второго порядка запишется

Пример. Вычислить

Для матрицы третьего порядка

определитель третьего порядка вычисляется

Пример.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Минором M_ij элемента a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Например,

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j:

Пример.

Минор М₂₃ элемента а₂₃ получается из ∆₃ вычеркиванием второй строки и третьего столбца, т.е.

Минор М₃₁ элемента а₃₁ получается из ∆₃ вычеркиванием третьей строки и первого столбца, т.е.

Теорема. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

∆_n = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + … + a_inA_in, где 1 ≤ i ≤ n.

Пример. Вычислить определитель матрицы

.

Для разложения определителя выбирают тот столбец или ту строку, где есть нулевые элементы, т.к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

Свойства определителей

1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е. detА^Т = detA.

2. Если поменять местами две строки (два столбца) определителя, то он изменит знак.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

4. Если определитель содержит нулевую строку (столбец), то он равен нулю.

5. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя.

6. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Пример. Вычислить определитель

Преобразуем определитель так, чтобы в 3-ем столбце все элементы, кроме одного, обращались в 0. Для этого элементы 1-й строки прибавим к соответствующим элементам 2-й строки; умножим элементы 1-й строки на (-2) и на (-1) и прибавим их соответственно к элементам 3-й и 4-й строк. Раскладывая полученный определитель по элементам 3-го столбца, найдем:

В полученном определителе элементы 2-го столбца умножим на 2 и прибавим их к соответствующим элементам 1-го столбца:

Примеры для самостоятельной работы

Вычислите определители:

1. 2.

3. 4.

1.4. Обратная матрица

Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, т.е. detA ≠ 0.

Матрица А^–1 называется обратной квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица:

Теорема. Для невырожденной матрицы существует обратная матрица.

Обратная матрица вычисляется по формуле:

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы

Вычислим определитель данной матрицы

значит, А^–1 существует. Вычисляем алгебраические дополнения А_ij элементов матрицы:

Запишем А^–1, в которой второй сомножитель получен транспонированием матрицы из алгебраических дополнений:

Правильность вычисления обратной матрицы можно проверить по формулам .

Примеры для самостоятельной работы

Найти обратную матрицу

1. 2.

3.