(Л4) Тема 2.2: Уравнение линии на плоскости. Кривые второго порядка.

Актуальность темы (мотивация изучения).

Знание фундаментальных основ аналитической геометрии способствует формированию специализированных знаний, соединяющих профессиональные знания и умения узких специалистов и широкие общенаучные фундаментальные знания. Геометрический анализ экономических задач представляет общий научный интерес.

Цель лекции: Обучение студентов основным понятиям аналитической геометрии

План лекции:

1. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом 

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении 

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 

4. Угол между двумя прямыми 

5. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 

6. Общее уравнение прямой 

7. Взаимное расположение двух прямых на плоскости 

8. Расстояние от точки до прямой 

9. Кривые второго порядка

1 Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом

Прямоугольная система координат позволяет задавать различные линии на плоскости их уравнениями. 

Уравнением линии на плоскости в прямоугольной системе координат хОу называется уравнение f(х,у)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки плоскости, не лежащей на этой линии.

Пусть прямая l не параллельна оси Оу (рис.1). Обозначим точку пересечения прямой l с осью Оу буквой В(О;в), а угол между положительным направлением оси Ох и прямой l обозначим угол, отсчитываемый от оси Ох против часовой стрелки ( ), называется углом наклона прямой l к оси Ох.

Выведем уравнение прямой l. 

Пусть М(х,у) – произвольная точка прямой l с текущими координатами х,у. Из прямоугольного треугольника ВМN (рис.1) имеем: 

 (1)

Отсюда y-в=xtgφ, или у=xtgφ+в и окончательно  y=kx+в  (2) 

где k=tgφ  - Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой. 

Уравнение (2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. 

Число в – это величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат.

Пример 1. Составить уравнение прямой линии, отсекающей на оси ординат отрезок, величина которого равна -2, и наклоненной к оси абсцисс под углом в 45°.

Решение. Здесь в=-2 и k=tg45⁰=1. Следовательно, искомое уравнение y=x-2

Пример 2. Если   и уравнение данной прямой имеет вид у=х-3. 

Если в уравнении (2) к=0, то имеем уравнение прямой, параллельной оси Ох и проходящей через точку В(0;в): у=в (3) 

При в=0 из (8) получаем уравнение координатной оси Ох: у=0. 

По аналогии с уравнением (3) уравнение х=а (4) есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку А(а;0).

При а=0 из равенства (4) имеем уравнение координатной оси Оу: х=0.

2 Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x₁;y₁) и имеющей данный угловой коэффициент k. Уравнение этой прямой имеет вид:

y=kx+в (5)

Так как искомая прямая проходит через точку A(x₁;y₁), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (5):

y₁=kx₁+в (6)

Из уравнения (6) выражаем в=y₁-kx₁ и подставляем в уравнение (5):

y-y₁=k(x-x₁) (7)

Это и есть уравнение искомой прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x₁;y₁) параллельно оси Oу, будет иметь вид: x=x₁

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3;4) и наклоненную к оси Oх под углом в 135°

Уравнение прямой можно записать в форме (7). Здесь x₁=-3, y₁=4, k=tg135°=-1  

Следовательно, искомое уравнение будет у-4=-1(х+3), или х+у-1=0.