Сферичний надлишок

Із сферичної тригонометрії відомо, що сферичний надлишок сферичного трикутника (рис.3.2) рівний площі цього трикутника, якщо радіус сфери, на якій він розташований, . При сферичний надлишок визначається формулою

. (3.1)

Для практичних обчислень сферичного трикутника будь-якого розміру сферична тригонометрія надає формули різного виду. Серед них:

Рис. 3.2

В малих сфероїдних трикутниках і , тому тригонометричні функції малих аргументів можна розкласти в ряди із збереженням тільки перших членів розкладів:

В результаті отримаємо наступні формули:

(3.2)

Для типових довжин сторін тріангуляції формули (3.2) можна використовувати без членів в дужках

(3.3)

У випадку вимірювання всіх кутів ці формули можна перетворити так, щоб сферичний надлишок був функцією лише однієї сторони

(3.4)

В першокласних геодезичних мережах сферичний надлишок обчислюється з точністю до .

Для обчислення сферичного надлишку в кожному трикутнику, крім кутів, повинні бути відомі також довжини сторін. Вияснимо, з якою точністю повинні бути відомі довжини сторін і кути, щоб обчислений за ними сферичний надлишок мав похибку не більше .

Для рівностороннього трикутника на основі формул (3.4) можемо записати

Продиференціювавши дану формулу за змінними та , отримаємо

Прийнявши, що та , знайдемо допустимі похибки сторін і кутів для різних довжин сторін малого сферичного трикутника (табл. 3.1). В табл. 3.1 приведено також можливі значення сферичного надлишку для рівносторонніх трикутників.

Одним із основних застосувань сферичного надлишку є виявлення нев’язки у трикутнику тріангуляції

(3.5)

Таблиця 3.1

км	м
30 50 100	4 2 1	90 30 10	2 5 20

Способи розв’язування малих сфероїдних трикутників а) за формулами сферичної тригонометрії

Розв’язування малих сфероїдних трикутників, як було вже зазначено, зводиться до розв'язування сферичних трикутників за формулами сферичної тригонометрії. Так для трикутника (рис. 3.2) при заданій стороні та кутах , на основі формули синусів, запишемо

(3.6)

де радіус сфери визначається як функція середньої широти , на якій розташований трикутник, за відомими формулами .

Недоліком даного способу є те, що сторони трикутника виражаються в частинах радіуса, а також необхідність визначати тригонометричні функції малих кутів з досить високою точністю (10-12 розрядів).

Б) за теоремою Лежандра

Теорема Лежандра для малих сферичних трикутників: якщо сторони плоского і сферичного трикутників відповідно рівні між собою, то кути плоского трикутника рівні кутам сферичного трикутника, зменшеними на одну третину сферичного надлишку.

Нехай - сферичний, а - плоский трикутник, сторони якого рівні відповідним сторонам сферичного трикутника (рис. 3.3). Такий трикутник носить назву лежандровий трикутник.

Рис.3.3