Точність розв'язування головної геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда
При розгляді питання про точність обчислень при розв'язуванні прямої та оберненої геодезичних задач виходять з того, що похибки обчислень ніколи не повинні збільшувати похибки самих вимірювань. В зв'язку з цим всі обчислення виконують з точністю, що в 5-10 раз перевищує досягнуту точність вимірювань. У відповідності з цією точністю повинні підбиратися формули та розроблятися алгоритми обчислень.
Вихідними даними, крім постійних величин (параметрів еліпсоїда, швидкості розповсюдження електромагнітних хвиль у вакуумі тощо), є результати вимірювань довжин ліній та напрямів (кутів).
Враховуючи, що напрями в високоточній тріангуляції отримуються із спостережень з точністю до 0.01", всі обчислення, пов’язані з визначенням геодезичних азимутів виконують з точністю 0.001".
В першокласних мережах довжини
сторін вимірюються з похибкою 1:500 000 –
1:000 000, а кути – з похибкою
.
Довжини сторін повинні бути не меншими
20 км.
Похибка взаємного визначення положення пунктів (лінійний зсув кінцевої точки лінії довжиною 20 км), яка викликана похибкою виміряної сторони або похибкою виміряного кута, складе
м,
м.
Проекції лінійного зсуву на меридіан і паралель будуть відповідно
Щоб не допускати накопичення похибок обчислень при послідовному розв'язуванні прямої геодезичної задачі від пункта до пункта, обчислення широт і довгот виконують з точністю до 0.0001".
Слід відмітити, що вказана точність характерна для високоточних геодезичних мереж, що створювались методом тріангуляції. В зв'язку з широким впровадженням сучасних супутникових методів визначення положення пунктів, а також їх використання на відстані до тисяч і більше кілометрів, вимоги щодо точності обчислень можуть бути різними. Відзначимо також і те, що при сучасній обчислювальній техніці мова не йде про технічне досягнення потрібної точності, а про вибір методів та алгоритмів розв'язування геодезичних задач в залежності від заданої точності.
3.4. Основні шляхи розв'язування геодезичних задач
3.4.1. Розв’язування сфероїдних трикутників
Класичний метод побудови геодезичної мережі на земній поверхні – метод тріангуляції – складається із геометричних фігур, основними з яких є трикутники, а їхніми вершинами – геодезичні пункти. Виміряні на цих пунктах кутові та лінійні величини виправляються різного роду поправками, що враховують інструментальні похибки, вплив атмосфери тощо, а також приводяться (проектуються) на поверхню вибраного для опрацювання геодезичних вимірювань земного еліпсоїда.
В результаті введення поправок у виміряні значення кутів та ліній, останні поступають на стадію математичного опрацювання з метою врівноваження і подальшого обчислення координат всіх геодезичних пунктів.
Врівноваженню підлягає геодезична мережа, що складається із трикутників на еліпсоїді, які називають ще сфероїдними трикутниками. Для отримання елементів сфероїдного трикутника, переважно довжин його сторін, необхідно його розв’язати, тобто за відомими його елементами знайти невідомі (невимірювані) елементи. При класичному методі побудови геодезичних мереж задача полягає в послідовному обчисленні довжин сторін трикутників тріангуляції, причому відомими є одна сторона та кути кожного трикутника.
На сучасному етапі кардинально змінилася техніка вимірювань. За допомогою GPS-технологій геодезична мережа будується як просторова побудова у вигляді своєрідного багатогранника, гранями якого є плоскі трикутники з виміряними прямолінійними відстанями між їх вершинами. Врівноваження такої просторової побудови є складним, тому більш традиційний шлях перед врівноваженням полягає в тому, що виміряні відстані редукуються на поверхню вибраного еліпсоїда. При цьому можна знайти всі кути новоутворених сфероїдних трикутників і врівноважувати мережу як лінійно-кутову.
Отже, для встановлення геометричних зв’язків між трикутниками необхідно попередньо знайти величини всіх його елементів – кутів та сторін, тобто розв’язати. Враховуючи, що сторони в першокласних геодезичних мережах рідко перевищують 30 км, то трикутники тріангуляції вважаються малими сфероїдними трикутниками. Саме такі трикутники ми і будемо в подальшому розглядати.
Можливість розв’язування малих сфероїдних трикутників як сферичних була розглянута в попередньому розділі (див. п.2.7.3).