З врахуванням (3.89) і (3.99) рівність (3.98) представимо в вигляді

Як і в попередньому, степеневі функції змінної замінимо функціями кратних аргументів на основі співвідношень (3.92) і згрупуємо сталі коефіцієнти при кожній функції з одинаковими аргументами. Отримаємо

Введемо позначення

(3.100)

після чого

. (3.101)

В результаті інтегрування (3.101) з врахуванням зауважень (3.95), отримуємо

(3.102)

Формулою (3.102) забезпечується точність обчислення різниці довгот в при будь-яких віддалях.

При розв’язуванні оберненої геодезичної задачі для обчислення , коли задана різниця довгот , виникає необхідність застосування методу наближень, оскільки інші величини у формулі (3.102) залежать від шуканої величини .

Отже, нами отримані всі співвідношення, які необхідні для взаємного переходу з еліпсоїда на сферу при роз’язуванні головних геодезичних задач. Вкажемо також, що при розв’язуванні цих задач використовуються також формули сферичної тригонометрії для розв’язування прямої і оберненої геодезичних задач на сфері (див. п. 3.4.2.а).

3.6.4. Чисельні методи розв'язування головних геодезичних задач

Аналітичні методи обчислень не згубили свого значення і в теперішній час, проте область їх застосування змінилась в зв'язку з широким використанням ЕОМ в різних галузях, в тому числі і в геодезичній практиці. Якщо майже єдиною базою для наближених представлень складних функцій, з котрою виходила геодезія, особливо сфероїдна її частина, був розклад функцій в ряди Тейлора, то тепер на перший план вийшли різноманітні чисельні способи розв'язування диференційних рівнянь і обчислення еліптичних інтегралів. Відомо, що еліптичні інтеграли і походжені від них еліптичні функції в диференційних рівняннях, котрі мають квадратні корені із многочленів вищих степенів, є основним математичним апаратом поверхні еліпсоїда.

Чисельні методи, що використовуються при розв’язуванні головних геодезичних задач, можна розділити на дві групи:

а) обчислення еліптичних інтегралів (3.29) методами чисельного інтегрування;

б) чисельне інтегрування диференційних рівнянь (3.27) і (3.28).

Відзначимо, що обчислення еліптичних інтегралів методами чисельного інтегрування (формули трапецій, Сімпсона, Чебише­ва, Гаусса, Грегорі тощо) не є оптимальним розв'яз­ком головних геодезичних задач. Справа в тому, що квадратурні формули, наприклад, Гаусса хоча і вимагають досить мало машинної пам’яті, проте у практичному застосуванні приводять до ускладнення програм. В період мало­потужних ЕОМ дані методи мали певне практичне застосування.

В даний час оптимальним методом в розумінні точності і ефективності розв'язування головних геодезичних задач, як вже було підкреслено в п.3.4.2.б є метод чисельного інтегрування диференційних рівнянь, названий на честь авторів методом Рунге-Кутта. Відомі також його модифікації: Рунге-Кутта- Інгланда, Рунге-Кутта - Мерсона.

Характерні риси даного методу:

• простота програмування ( декілька десятків операторів для будь-якої мови програмування);

• висока точність розв'язування на відстані до 20 тис.км;

• універсальність і однотипність обчислювальної процедури при будь-яких відстанях;

• можливість оцінки точності інтегрувння на одному кроці.

Практично єдиний недолік даного методу - наявність порівняно потужної ЕОМ - на даний час не є принциповим.

У першому розділі розглянуто в загальних рисах метод Рунге-Кутта 4-го порядку для розв'язування диференційних рівнянь. Тут ми зупинимось на застосуванні цього методу для розв’язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда.