3.6.2. Розв’язування прямої геодезичної задачі методом допоміжної точки (формули Шрейбера)

Нехай на рис.3.8 PQ₁Q₂ – сфероїдний полярний трикутник, який потрібно розвязати за такими даними: широтою B₁ і довготою L₁, довжиною s геодезичної лінії, що з'єднує точки Q₁ i Q₂, а також азимутом A₁ цієї лінії в точці Q₁ (прямий азимут).

Рис. 3.8

Розділимо трикутник (рис.3.8.а) на два сфероїдних прямокутних трикутника геодезичною лінією Q₂С, яка перпендикулярна меридіану PQ₁ початкової точки. Широту точки С позначимо через , а різницю широт - через d.

Вивід формул Шрейбера буде складатись із наступних етапів.

Із прямокутного сфероїдного трикутника Q₁С Q₂ за даними A₁ і s визначають катети x і y, використовуючи теорему Лежандра та сферичний надлишок цього трикутника. На рис. 3.8.б представлений трикутник Q₁’Q₂’C’, який відповідає сфероїдному трикутнику Q₁ С Q₂.

Застосовуючи формули розкладу в ряд (3.32) можна розв’язати пряму геодезичну задачу для точок Q₁ і С. Поскільки для цієї пари точок A₁=0 і s=x, то все зводиться тільки до визначення різниці широт b.

За тими ж формулами розв’язують пряму геодезичну задачу з точки С , широта якої тепер вже відома, на точку Q₂ , тобто при азимуті A₁=90^o та відстані s=y.

Отже, замість прямого застосування рядів (3.32) до точок Q₁ і Q₂ їх застосовують послідовно до точок Q₁ і С , а потім до точок С і Q₂, тобто у випадках, коли A=0^o і A=90^o.

В результаті отримаємо: та .

Сума всіх кутів навколо точки Q₂ дасть

,

звідки

. (3.68)

Розглянемо детальніше вивід основних формул. Із плоского трикутника Q₁’С’Q₂’, використовуючи теорему Лежандра, за формулою синусів отримаємо

(3.69)

де сферичний надлишок може бути достатньо точно обчислений за формулою

(3.70)

Для визначення широти B_o, використаємо першу формулу системи (3.32), в якій при підстановці похідних (до третього порядку) врахуємо, що :

. (3.71)

Аналогічно поступають і при визначенні широти B₂, тільки в цьому випадку вже :

. (3.72)

Застосуємо тепер другу і третю формули системи (3.32) для визначення приростів довготи l та азимута a відповідно. При цьому враховуємо, що :

(3.73)

Відповідно

(3.74)

3.6.3. Розв’язування головних геодезичних задач методом переходу на поверхню сфери (формули Бесселя)

В основі способа Бесселя лежать умови:

1. геодезична лінія між точками і еліпсоїда (рис.3.9.а) зображується на сфері дугою великого кола між точками і (рис.3.9.б);

2. у відповідних точках геодезичної лінії і дуги великого кола азимути рівні;

Рис. 3.9

3. широта будь-якої точки на сфері рівна приведеній широті відповідної точки на еліпсоїді, тобто сторони сферичного трикутника і відповідно рівні доповненням до приведених широт точок і на еліпсоїді.

Цими умовами забезпечується вище поставлена вимога однозначної відповідності між геодезичною лінією на еліпсоїді і дугою великого кола на сфері. Така відповідність називається ще бесселевим зображенням.

Залишається встановити зв’язки між різницею довгот точок на еліпсоїді і аналогічною величиною - на сфері; довжиною геодезичної лінії на еліпсоїді і дугою великого кола на сфері. Хід отримання математичних формул цих зв’язків:

1. Вивід диференційних рівнянь, що встановлюють зв’язки між і , і .

2. Інтегрування отриманих диференційних рівнянь.

При наявності всіх необхідних зв’язків між відповідними величинами на еліпсоїді і сфері головні геодезичні задачі способом Бесселя розв’язуються за наступним планом:

а) перехід від елементів сфероїдного трикутника до елементів сферичного трикутника (рис. 3.9 а) і б));

б) розв’язування геодезичних задач (прямої чи оберненої) на сфері;

с) перехід від обчислених елементів сферичного трикутника, стосовно розв'язування прямої чи оберненої задачі, до відповідних елементів на еліпсоїді.