Практическая работа №6

Тема: Нахождение наибольшего и наименьшего значений функций по алгоритму

Цель: Научиться находить наибольшее и наименьшее значения функции

Ход работы

Говорят, что функция   , определенная на промежутке Х, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из Х выполняется неравенство   .

Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции   на отрезке   :

1. найти  ;

2. найти точки, в которых   или   не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка  ;

3. вычислить значения функции   в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции   на отрезке   , которые можно обозначить так:  .

Если поставлена задача найти   для непрерывной на   функции   , то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка   .

Отличие: на третьем этапе вместо вычисления значений функции на концах отрезка находят пределы функции при приближении к концам интервала.

Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции  на промежутке   полезны два утверждения:

1. если функция   имеет в промежутке Х только одну точку экстремума  , причем это точка максимума, то   - наибольшее значение функции на промежутке Х;

2. если функция   имеет в промежутке Х только одну точку экстремума  , причем это точка минимума, то   - наименьшее значение функции на промежутке Х.

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции у = 5х – ln (х + 5)⁵ на отрезке [– 4,5;0].

Решение. Необходимо вычислить значение функции на концах интервала, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале, и выбрать наименьшее из них.

Вычисляем производную, приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной  на заданном отрезке:

Точка   х = – 4  принадлежит заданному интервалу. 

Таким образом, вычисляем значение функции в точках: – 4,5; – 4; 0.

Значения с логарифмами, которые мы получили, вычислить (или проанализировать) можно. И вы убедитесь, что наименьшим значением функции на данном отрезке  является    – 20.

Значит, в этой точке значение функции будет наименьшим, вычислим его:

Ответ: – 20

Пример 2. Найдите наименьшее значение функции у = 3х – ln (х + 3)³ на отрезке [–2,5;0].

Решение:

Пример 3. Найдите наибольшее значение функции у = ln (х + 5)⁵– 5х  на отрезке [– 4,5;0].

Решение:

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите наименьшее значение функции   на промежутке [-2;7]

2. Найдите наибольшее значение функции   на промежутке [-3;-1]

3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции   на отрезке   

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/primenenie-proizvodnoj-dlya-nahozhdeniya-naibolshego-i-naimenshego-znachenij-nepreryvnoj-funkcii-na - видеоуроки