1. Найти производные следующих функций:

1. y=

2. Y=

3. Y=

4. y=2x

5. Y=3x

6. Y=5x

7. y=5

8. Y=3

9. Y=

10. y=

11. Y=

12. Y=

13. y=

14. Y=

15. Y=

2. Найти производные следующих функций:

1. у = - ;

2. у = ;

3. у = ;

4. у = - ;

5. у = ;

6. у = +

3. Найти производные следующих функций:

1. y=(

2. f(x)=(x+2)(

3. F(t)=(

4. F(u) = (

5. y=(

6. Y=

7. у = ;

4. у =

5. у = ;

6. у = ;

7. у = ;

8. у = ;

9. у =

10. у =5ctgx × arctgx;

11. у = 2х × arcsinх;

12. у =3сosx × arcctgx

13. у = -2tgx × arcsinx;

14. у = -2tgx × arcsinx;

15. у= tgx (x³-3x²+1)

16. у= tgx (x²-3x+2)

17. у= tgx (2x³-x²+5)

18. у= tgx (2x³-x²+1)

4. Найти производные следующих функций:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. у = ;

10. у = ;

11. у = ;

12. у = ;

13. у = ;

14. у = ;

15. у = ;

16. у = ;

Практическая работа №3

Тема: Решение задач на отыскание производной сложной функции.

Цель: Научиться находить производную простой и сложной функции, строить график функции с использованием производной.

Ход работы Дифференцирование сложной функции

Пусть дана сложная функция тогда, если функция имеет производную в некоторой точке , а функция имеет производную в точке , тогда

.

Доказательство

.

Пример 1. Найти производные:

1. 

2. 

3. 

4. =

.

Задания для самостоятельного решения

Найти производные сложных функций

1. 

2. y= (x⁴+2)⁶

3. y= (2x⁴+3)⁸⁰

4. y= (x³+2)⁷

5. y= (3x⁴+5)⁹⁰

6. y= (2x⁴+3)⁸

7. y= (x³+4)¹⁰⁰

8. y= (x³+2)¹⁰

9. y= (2x⁵+6)⁸⁰

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. y=sin(x⁴+2x+1)

16. y=sin(3x⁴+x+1)

17. y=sin(3x+x²+1)

18. y=arctg(5x²)

19. y=arctg(x³)

20. y=arctg(3-x²)

21. y=ln(4x²+1)

22. y=ln(2x)

23. y=ln(5x+4)

Практическая работа №4

Тема: Вычисление производных второго и высших порядков

Цель: Научиться находить производные функции высших порядков.

Ход работы

Производную от данной функции часто называют первой производной (или производной первого порядка). Очевидно, что производная также является функцией, и если она дифференцируема, то от нее, в свою очередь, можно взять производную, которую называют второй производной (или производной второго порядка) и обозначают

Производной третьего порядка (или третьей производной) называют производную от второй производной. Ее обозначают

Например, для функции имеем

Вообще, производной n-го порядка от функции называется производная от произведной (n-1) – го порядка. Ее обозначают: Таким образом, производную n – го порядка можно найти последовательным дифференцированием данной функции.

 Решение примеров

1. Найти производную второго порядка:

.

Сначала найдем производную первого порядка:

.

Теперь найдем производную от производной первого порядка. Это и будет производная второго порядка:

.

 2. Найти производную третьего порядка:

,

Найдем производную первого порядка:

,

Теперь найдем производную второго порядка:

,

И наконец найдем производную от производной второго порядка, это будет производная третьего порядка:

 

.

 3. Найти производную n-го порядка функции:

.

Находим производную первого порядка:

Теперь находим производную второго порядка:

.

Находим производною третьего порядка:

.

Находим производную четвертого порядка:

:

Тогда пятая производная имеет вид:

.

Задания для самостоятельного решения