Практическая работа №14

Тема: Составление вариационного ряда, построение полигона и гистограммы

Цель: Научиться решать задачи математической статистики

Ход работы

Пример 1.

Сделано два высоко рисковых вклада : 10тыс. руб. в компанию А и 15 тыс. руб. в компанию В. Компания А обещает 20% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,1.

Компания В обещает 10% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,05. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, определить ожидаемую доходность и уровень риска.

Решение.

Возможно четыре исхода : – обе компании «не лопнули»; – компания А «не лопнула», а компания В «лопнула»; – компания А «лопнула», а компания В «не лопнула» ; – обе компании «лопнули». Поскольку компании работают независимо друг от друга , то по теореме умножения вероятностей найдем вероятности этих исходов:

P( )= 0,9*0,95= 0,855

P( )=0,9*0,05=0,045

P( )=0,1*0,95=0,095

P( )=0,1*0,05=0,005

Доходы (убыток) от вложения денег:

- при исходе составит 10 * 0.2 + 15 * 0,1 = 3,5тыс. руб.

- при исходе составит 10 * 0,2 – 15 = - 13 тыс. руб.

- при исходе составит -10 + 15 * 0,1 = -8,5 тыс. руб.

- при исходе составит -10 – 15 = - тыс. руб.

Отсюда закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, имеет вид

X =	3,5	-13	-8,5	-25
= P (x= )	0,855	0,045	0,095	0,005

Ожидаемая доходность равна математическому ожиданию полученной , случайной величины:

= M [X] = = 1,475 тыс. руб.

Уровень риска оценим через среднее квадратическое отклонение данной случайной величины :

= – (X = – ( = = = 5,088 = 5,088 тыс. руб.

Пример 2. По данному статистическому распределению выборки методом произведений вычислите:

а) выборочную среднюю;

б) выборочную дисперсию;

в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

	110	115	120	125	130	135	140
	3	7	11	40	19	12	8

Решение.

Выборочное среднее равно:

= = = 126.65

Выборочная дисперсия рана

= - = - = 16088,75- = 16088,75-16040,22 = 48,53 .

Выборочное среднее квадратическое отклонение равно

= = = 6,97 .

Пример 3. По данному статистическому распределению выборки методом произведений вычислите:

а) выборочную среднюю;

б) выборочную дисперсию;

в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

	120	130	140	150	160	170	180
	6	9	29	26	14	11	5

Решение.

Выборочное среднее равно

= = = 148,6 .

Выборочная дисперсия рана

= - = - = 22302- = 22302- 22081,96 = 220 ,04.

Выборочное среднее квадратическое отклонение равно

= = = 14,83 .

Пример 4. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии y на x

- = * (x - ) по данной корреляционной таблице

Y	X
	4	9	14	19	24	29
10	2	3	-	-	-	-	5
20	-	7	3	-	-	-	10
30	-	-	2	50	2	-	54
40	-	-	1	10	6	-	17
50	-	-	-	4	7	3	14
	2	10	6	64	15	3	100

Решение.

Найдём:

= = (4*4+9*10+14*6+19*64+24*15+29*3) = = 18.45.

= = (10*5+20*10+30*54+40*17+50*14) = = 32.50.

= - = ( ) - = - = 362.85 – 340.4025 = 22.448.

= - = ( ) - = - = 1153 – 1056.25 = 96.75.

(x) = = = 4.738.

(y) = = = 9.836.

= = = 0.802.

Таким образом, выборочное уравнение прямой линии регрессии y на x имеет вид

– 32.5 = 0.802* * (x – 18.45).

Пример 5. Найдите степень корреляции между следующими парами значений x и y.

Определите уравнение регрессии y = a+bx

а)

x	2	3	4	5	6
y	8	11	14	17	20

Решение.

Коэффициенты регрессии a, b находим методом наименьших кадров, решая систему линейных уравнений:

an+ b = ,

a + b = ,

где n=5.

Решение данной системы имеет вид:

b = ,

a = .

Коэффициент корреляции между x и y равен:

R = b = b .

Построим уравнение регрессии y = a+ bx для каждого случая.

а) Вспомогательная таблица имеет вид:

№№	x	y			xy
1	2	8	4	64	16
2	3	11	9	121	33
3	4	14	16	196	56
4	5	17	25	298	85
5	6	20	36	400	120
Всего	20	70	90	1070	310
Среднее	4	14	18	214	62

Отсюда, используя приведённые выше формулы, получим

b = = 3,

a = = 2.

Уравнение регрессии имеет вид

y = 2+3x.

Коэффициент корреляции между x и y равен:

r = = 1.

Прогноз среднего значения y при x = 7 равен

(7) = 2+3*7 = 23.

Пример 6. Закон распределения Р (Х=х) приведён в таблице. Требуется:

а) определить математическое ожидание М (Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение 𝞼(Х) случайной величины Х;

б) построить график этого распределения.

	0	1	2	3	4	5
	0.16	0.35	0.31	0.12	0.03	0.03

Решение.

Математическое ожидание случайной величины Х равно:

M(X)= = 0*0.016+1*0.35*…+5*0.03=1,6/

Дисперсия случайной величины Х рана:

D(X)= M * = * 0.016+…+ * 0.03= 0.34.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х равно

(Х) = = = 1.158.

Полигон представляет собой ломанную, которой концы отрезков имеют координаты ( ), i= 1,…,L. Полигон для случайной величины Х показан на рисунке 9.