П ервый замечательный предел
Рассмотрим следующий предел:
Пример
1
Используем
первый замечательный предел
Пример 2
Пример
3 
Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):
Пример
4 
Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:
Постоянные множители вынесем за значок предела:
Организуем первый замечательный предел:
Здесь
у нас только один замечательный предел,
который превращается в единицу и
исчезает в произведении:
Избавимся от трехэтажности:
Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:
Задания для самостоятельного решения
Вычислить пределы:
Практическая работа №2
Тема: Дифференцирование функций.
Цель: Научиться находить производную простой функции
Ход работы
Производная
функции
в точке
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при
условии, что приращение аргумента
стремится к 0.
Обозначается:
Таблица производных
Правила дифференцирования функции
Постоянный множитель c можно выносить за знак производной:
Правило 1 непосредственно вытекает из определения производной функции и свойства пределов функций, согласно которому постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Если существуют производные
и 
,
то производная от суммы (разности)
функций 
и 
равна сумме (разности) производных:
Правило дифференцирования суммы или разности функций также следует из определения производной функции и свойства пределов функций, согласно которому предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) соответствующих пределов.
Если существуют производные и , то выполняются следующие правила дифференцирования произведения функций и частного от их деления:
Пример
1.
Найти производную функции y=
.
Решение:
Используя правило V
и формулу (
)’
=
, получим y’=(
Пример
2.
Найти производную функции y=
.
Решение:
В правой части имеем алгебраическую
сумму дифференцируемых функций, поэтому
применяем правило 3: (
Пример
3.
Найти производную функции y=
Решение:
(
Пример 4. Найти производную функции у=(2х3-5х2+7х+4)
Решение:
.
Пример 5. Найти производную функции y=x7+x5-x4+x3-x2+x-9.
Решение: y’=7x6+5x4-4x3+3x2-2x+1.
Пример
6.
.
Пример
7.
.
Пример
8.
Продифференцировать функцию y=
Решение.
1 способ. Используя правило 4, получим
(
2 способ. Предварительно преобразуем данную функцию:
2
(
, Тогда получим: y’
= (
)’=
-
Задания для самостоятельного решения