Практическая работа №11

Тема: Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения

Цель: Научиться вычислять площади плоских фигур и объемы тел вращения

Ход работы Правило вычисления площадей плоских фигур

С помощью определенного интеграла можно также вычислять площади плоских фигур, так как эта задача всегда сводится к вычислению площадей криволинейных трапеций.

Площадь всякой плоской фигуры в прямоугольной системе координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси или . Задачи на вычисление площадей плоских фигур удобно решать по следующему плану:

1. По условию задачи делают схематический чертеж.

2. Представляют искомую площадь как сумму или разность площадей криволинейных трапеций . Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции.

3. Записывают каждую функцию в виде

4. Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.

Площади фигур, расположенных над осью

Пример1 . Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями: x = 25, и y = 0 (рис.4)

Решение. Для любого функция принимает положительные значения; поэтому для вычисления площади данной криволинейной трапеции следует воспользоваться формулой

= dx = x^1/2 = 2

Рис.4

Площади фигур, расположенных полностью или частично под осью

Пусть на отрезке [a,b] задана неположительная непрерывная функция .

Если фигура, расположенная под осью ОХ, является криволинейной трапецией, то её площадь вычисляется по формуле

или

где

Пример 2.

Решение: На отрезке [0,3] функция

Пусть функция

отрицательные значения. Тогда нужно разбить отрезок [a,b] на такие части, в каждой из которых функция не изменяет знак, затем по приведенным выше формулам вычислить соответствующие этим частям площади и найденные площади сложить.

Пример 3.

Решение: Парабола пересекает ось абсцисс в точках Фигура, площадь которой требуется найти, отмечена цветом на рисунке 5.

рис.6 рис.7

рис. 5

Пусть S₁ и S₂ - площади частей этой фигуры, соответствующих отрезкам[0,4] и [4,5], а S- искомая площадь; тогда S=S₁ + S_2.

(кв.ед)

Следовательно, S= =13(кв.ед)

Площади фигур, прилегающих к оси

Если криволинейная трапеция прилегает к оси ординат и ограничена непрерывной кривой , то ее площадь вычисляется по формуле

Пример 4.

Решение. Данная фигура есть криволинейная трапеция, прилегающая к оси . Пределами интегрирования по являются значения Запишем данную функцию в виде .

Симметрично расположенные плоские фигуры

Если кривая расположена симметрично относительно оси координат или начала координат, то можно упростить вычисления, определив половину площади и затем удвоив результат.

Пример 5.

Решение. S=

Задания для самостоятельного решения:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, сделать чертеж

1. y=4x–x², y=0

2. y= -x²+4, y=0

3. y=-x²+6x-5, y= -x+5

4. y=x², y=2x

5. y=x², y=3x

6. y= x²-4x+5, y=5

7. y= 8+2x-x², y=x+6

8. y=4-x², y=3

9. y=3-2x-x², y=1-x

10. y=x²+1, y=3-x

11. y=x²–2x+3, y=5- x

12. y= 4x-x², y=4-x

13. y=-x²-4x, y=1, x=-3, x=-1

14. y=3-2x-x², y=0, x=0, x=-2

15. y=–3x²–2, x=1, x=2, y=–1

16. y=x²-4x+5, y=0, x=0, x=4

17. y= x²-4x+6, y=1, x=1, x=3