Примеры интегрирования подстановкой
Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем:
1.Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно) .
2.Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
3.Находят дифференциал обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной(или выражение, содержащее этот дифференциал ) через дифференциал новой переменной.
4.Производят замену под интегралом.
5.Находят полученный интеграл.
6.В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием.
Частные приемы будут рассмотрены по ходу решения примеров.
Найти неопределенный интеграл способом подстановки:
6. .
Решение.
Проверка:
.
7.
Решение.
Проверка:
8.
Решение.
Проверка:
9.
Решение.
10.
Решение.
11.
Решение.
Сначала преобразуем подынтегральную
функцию:
Далее находим
+C.
Способ интегрирования по частям
При интегрировании функций, содержащих произведения, логарифмы и обратные тригонометрических функций, бывает удобно воспользоваться способом интегрирования по частям.
Выведем формулу интегрирования по частям.
Интегрируя
обе части равенства
получим
откуда
(5)
С
помощью формулы (5) нахождение интеграла
сводится
к нахождению интеграла
который может отказаться или проще
данного, или даже известным.
При
практическом использовании формулы
интегрирования по частям данное
подынтегральное выражение представляют
в виде произведения двух сомножителей,
которые обозначают
и
Множитель
стараются выбрать так, чтобы
было проще, чем
.
Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы:
12.
.
Решение.
Интеграл содержит произведение двух
функций
и
.
Способ подстановки не дает возможности
найти этот интеграл. Обозначаем
Применяем формулу интегрирования по
частям:
Приняв
Если
же в этом интеграле сделать другую
замену:
то легко убедиться, что полученный
интеграл окажется сложнее исходного,
т.е. замена окажется неудачной. Умение
определить целесообразность той или
иной замены приходит с приобретением
навыка.
13.
Решение.
Иногда формулу интегрирования по частям приходиться применять дважды.
14.
Решение. Имеем
Примеры для самостоятельного решения:
.
Практическая работа №9
Тема: Вычисление определенных интегралов
Цель: Научиться находить определенный интеграл