Практическая работа №8
Тема: Решение задач по интегральному исчислению
Цель: Научиться находить неопределенный интеграл.
Ход работы
Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной или дифференциалу, называют первообразной.
Определение. Дифференцируемая функция F’(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x ∈ R из этого промежутка справедливо равенство F’(x)=f(x).
Из этого определения вытекает, что всякая функция по отношению к своей производной является первообразной.
Так,
функция F’(x)=x2
есть
первообразная функция f(x)=2
на
интервале(
),
поскольку
для всех x∈R
имеет
место равенство F’(x)=(x2)’=2x.
Основные свойства неопределенного интеграла
Рассмотрим сначала основные свойства неопределенного интеграла.
1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.
(
2.Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграл, т.е.
где m- постоянная величина, не равная нулю.
3.Интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.
4.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
5.Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С, т. е.
Основные формулы интегрирования
Формулы
интегрирования получаются обращением
соответствующих формул дифференцирования.
Выпишем в таблицу основные интегралы. 
=
Интегралы, приведенные в этой таблице, называются табличными интегралами.
Для вывода этих формул, как уже отмечалось, используется свойство 5 неопределенного интеграла, а именно дифференцирование правой части равенства. Производная правой части равенства дает подынтегральную функцию, а дифференциал - подынтегральное выражение.
Примеры:
Решение.
Применим формулу
Проверка:
Получили подынтегральное выражение;
следовательно, интеграл найден
верно.
2.
Решение.
Проверка.
Решение.
Применяя свойства 2 и 3, а затем формулу
получим
Здесь С- алгебраическая сумма четырех произвольных постоянных слагаемых, являющихся составной частью каждого интеграла.
Продифференцировав этот результат, получим подынтегрального выражение, т.е. решение верное.
4.
Решение.
Дифференцированием результата легко убедиться, что решение верное.
5.
Решение.
