1.3. Елементарні формули алгебри. Спрощення алгебраїчних виразів. Раціональні дроби. Розкладання правильних
раціональних дробів на прості дроби
Означення 1.
Дріб вигляду
,
де
– многочлени, називається раціональним;
якщо
,
то раціональний дріб є правильним.
Означення 2.
Раціональні дроби
де
називаються елементарними.
Має місце твердження: правильний раціональний дріб можна зобразити у вигляді суми елементарних дробів. Зокрема, справедливо,що
Для знаходження
коефіцієнтів
праву частину зводять до загального
знаменника і порівнюють чисельники
дробів у лівій і правій частинах одержаної
рівності, потім комбінують методи:
1) підставляють ліворуч і праворуч одні і ті ж числа (зазвичай корені знаменника);
2) прирівнюють
коефіцієнти при однакових степенях
ліворуч і праворуч рівності і розв’язують
отриману систему.
Формули скороченого множення і ділення:
Формула бінома Ньютона:
де
– біноміальні коефіцієнти, які знаходяться
в
–му
рядку «трикутника Паскаля».
Алгоритм побудови «трикутника Паскаля» (табл. 1.1): кожний елемент наступного рядка, окрім його крайніх елементів, дорівнює сумі двох сусідніх з ним елементів попереднього рядка; крайні елементи кожного рядка є одиниці.
Таблиця 1.1
Номер рядка |
Біноміальні коефіцієнти |
0 |
1 |
1 |
1 1 |
2 |
1 2 1 |
3 |
1 3 3 1 |
4 |
1 4 6 4 1 |
5 |
1 5 10 10 5 1 |
6 |
1 6 15 20 15 6 1 |
Приклад 1.
7.
Знайти
Розв’язання.
Коефіцієнти беремо з 5-го рядка, знаки
“
”,
“–” чергуємо:
.
Формула виділення повного квадрата:
Приклад 1.8.
Спростити
Розв’язання.
ОДЗ:
якщо
Приклад 1.9.
Спростити вираз
Розв’язання.
ОДЗ:
якщо
Приклад 1.10.
Спростити
Розв’язання.
Позначимо цей вираз через
ОДЗ перетворень:
Приклад 1.11.
Спростити вираз
Розв’язання.
,
якщо
( це
ОДЗ перетворень).
Приклад 1.12. Спростити вираз
Розв’язання.
ОДЗ:
Звільнимося від ірраціональності в знаменнику спочатку першого, а потім другого дробу. Маємо:
1)
2)
3)
.
4)
5)
Отже,
,
якщо
.
Приклад 1.13.
Знаючи табличні інтеграли
знайти інтеграл
Розв’язання. Розкладемо підінтегральний дріб на елементарні дроби:
Маємо:
Покладемо
тоді
і
Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях:
Тоді
Завдання для самостійної роботи
1.14. Спростити:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
1.15.
Розкласти дріб
на суму елементарних дробів.
1.16.
Розкласти дріб
на суму елементарних дробів.