5.4. Показникові та логарифмічні рівняння
Рівняння, що містять невідому в показникові степеня, мають назву “показникові рівняння”.
Основні види показникових рівнянь такі:
1.
За
визначенням нульового показника
2.
Якщо
розділити обидві частини рівняння на
то
одержимо рівняння
3.
За
означенням логарифма
4.
Винесемо
за дужки
де
Маємо
або
Рівняння
має розв`язок , якщо
.
5.
Позначимо
,
тоді одержимо квадратне рівняння
відносно
,
оскільки
6.
Поділивши
обидві частини на
,
отримаємо рівняння, що має вигляд
рівняння 5 .
Приклад
5.17.
Розв’язати рівняння
.
Розв’язання.
Праву частину
перетворимо в число з основою 3:
.
Тепер підставимо
в рівняння. Маємо
.
Приклад
5.18.
Розв’язати
рівняння
.
Розв’язання.
Оскільки
,
то рівняння матиме вигляд
.
Винесемо
за дужки:
Таким
чином,
але
.
Приклад
5.19.
Розв’язати рівняння 
Розв’язання.
Позначимо
,
тоді
Підставимо
і
в задане рівняння. Отримаємо квадратне
рівняння
Розв’яжемо це рівняння. Маємо:
Звідси:
,
,
,
і
,
,
,
Приклад
5.20.
Розв’язати рівняння
Розв’язання.
Приклад
5.21.
Розв’язати рівняння
Розв’язання.
Приклад
5.22
.
Розв’язати рівняння
Розв’язання.
Винесемо за дужки
Отримаємо:
Приклад
5.23.
Розв’язати рівняння
Розв’язання.
Позначимо
.
Маємо
.
Корені квадратного
рівняння:
і
.
Оскільки
то нас влаштовує тільки корінь
.
Тоді
Якщо
невідома змінна міститься під знаком
логарифма або в його основі, то таке
рівняння називається логарифмічним.
При розв’язуванні логарифмічних рівнянь
обов’язково потрібно враховувати
властивості логарифмічної функції
:
,
,
.
Приклад
5.24.
Розв’язати рівняння
Розв’язання.
Для цього
рівняння ОДЗ таке:
Розв’яжемо
нерівність
:
Парабола
не
має точок перетину з віссю
.
Отже,
для будь-яких
.
Тоді
,
.
За означенням логарифма
маємо
,
.
Приклад
5.25
.
Розв’язати рівняння
.
Розв’язання.
Визначимо ОДЗ цього рівняння:
.
До
лівої частини рівняння застосуємо
властивість
,
тобто ліва частина дорівнює логарифму
дробу
В
правій частині рівняння
.
Тоді початкове рівняння набуде вигляду
За означенням логарифма
.
Оскільки
то
.
Приклад
5.26.
Розв’язати рівняння
.
Розв’язання.
Для цього рівняння ОДЗ таке:
.
До
лівої
частини рівняння застосуємо властивість
.
За означенням десяткового логарифма
,
,
,
.
Врахуємо, що
,
тоді
не є коренем цього рівняння.
Завдання для самостійної роботи
5.14. Розв’язати рівняння:
а)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
5.5. Показникові та логарифмічні нерівності
При розв’язуванні
нерівностей, що містять показникову
або логарифмічну функцію, треба пам’ятати
властивості цих функцій, а саме те, що
при
є монотонно зростаючими, а при
–
монотонно спадними. Таким чином, маємо
нерівності
;
.
Аналогічно:
.
При
розв’язуванні логарифмічних нерівностей
також треба пам’ятати, що функція
визначена тільки при
.
Приклад
5.27
.
Розв язати нерівність
Розв’язання.
Оскільки
функція
–
монотонно зростаюча і
,
то нерівність, задана за умовою,
еквівалентна таким нерівностям:
,
(застосовано метод інтервалів для розв’язування нерівностей).
Приклад
5.28
.
Розв’язати нерівність
Розв’язання.
Покладемо
.
Тоді
.
Враховуючи, що
,
одержимо
.
Приклад
5.29
.
Розв’язати нерівність
Розв’язання.
ОДЗ
цієї нерівності така:
Оскільки
–
монотонно спадна функція, то задана
нерівність еквівалентна нерівності
.
Остання нерівність з урахуванням того,
що
–
монотонно зростаюча функція, рівносильна
нерівності
З урахуванням ОДЗ одержимо відповідь:
(рис. 5.8).
Рис. 5.8
Приклад 5.30.
Розв’язати нерівність
Розв’язання.
Зведемо
праву частину до основи
:
,
одержимо
.
Функція
- монотонно спадна. Тому, якщо
,
а
і
,
то
.
Отже, з нерівності
випливає
,
або
.
Розв’яжемо
квадратну нерівність:
Таким
чином,
(рис. 5.9).
Приклад 5.31.
Розв’язати нерівність
Розв’язання.
Врахуємо, що
Тоді
а функція
монотонно зростає. Це означає, що для
будь-яких
і
(при
),
що належать області допустимих значень
функції,
.
Тоді, якщо
то
Розв’яжемо квадратну нерівність:
Тоді
(рис. 5.10).
Рис. 5.9 Рис. 5.10
Завдання для самостійної роботи
5.16. Розв’язати нерівності:
а)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
