Эти уравнения удобнее представить в форме

i ₁ = [u₁pL₁₂i₂]/[R₁(1+pT₁)];

i₂ = u₂/[R_н(1+pT_н)], (2.64)

u₂ =  pL₂₁i₁  R₂(1+pT₂)i₂.

Уравнениям (2.64) соответствует структурная схема двухобмоточного воздушного трансформатора, изображенная на рис. 2.182, где обозначено:

Z₁=R₁+L₁p; Z₂=R₂+L₂p; Z_н=R_н+L_нp, Z_m=L₁₂p=L₂₁p=Мp.

Рис. 2.182

Для получения модели в переменных состояния рассматриваемого трансформатора произведем ряд структурных преобразований схемы рис. 3.2, считая входным воздействием (входом) напряжение u₁, а выходом (реакцией) – ток i₂. Во-первых, исключим внутренний контур, заменив его звеном с передаточной функцией 1/(Z₂+Z_н) (рис. 2.183, а). Во-вторых, после­довательное соединение звеньев в прямом канале заменим одним сложным звеном Z_m/Z₁(Z₂+Z_н) (рис. 2.183, б). В-третьих, свернем внешний контур (рис.2.183,в) и получим передаточную функцию воз­душного трансформатора по каналу u₁i₂

w₂ = i₂/u₁ = Z_м/[Z₁(Z₂+Z_н)Z_м²].

После подстановки Z₁=R₁+L₁p, Z₂=R₂+L₂p, Z_н=R_н+L_нp и Z_m=Мp передаточная функция примет вид:

W₂ = в₁₂p/(а₀₂p²+а₁₂p+а₂₂),

где в₁₂= М;

а₀₂ = L₁L₂  М²;

а₁₂ = R₁L₁+R₂L₁+R_нL₁+R₁L_н,

а₂₂ = R₁R₂+R₁R_н.

Рис. 2.183

Затем, приняв за выходную переменную i₁ (рис. 2.184, а), заменим последовательное соединение звеньев в канале отрицательной обратной связи одним звеном Zm²/(Z₂+Z_н) (рис. 2.184, б) и свернем внешний контур с положительной обратной связью по току i₁ (рис. 2.184, в). В результате получим передаточную функцию воздушного трансформатора по каналу u₁i₁

w₁ = i₁/u₁ = (Z₂+Z_н)/[Z₁(Z₂+Z_н)Z_m²],

Рис. 2.184

Или, после подстановки выражений для z1, z2, Zн и Zm, имеем

w₁ = (в₁₁p+в₂₁)/(а₀₁p²+а₁₁p+а₂₁),

где а₀₁=а₀₂; а₁₁=а₁₂; а₂₁=а₂₂; в₁₁=L₂+L_н, в₂₁=R₂+R_н. Объединение структурных схем рис. 2.183, в и 2.184, в дает полную структурную схему воздушного трансформатора (рис. 2.185). Модель в переменных состояния, сформированная на основе полученных передаточных функций, представлена на рис. 2.186, где а₀=а₀₁=а₀₂=L₁L₂М²; а₁=а₁₁=а₁₂=R₁L₁+R₂L₁+ R_нL₁+R₁L_н; а₂=а₂₁=а₂₂=а₂₂=R₁R₂+R₁R_н; в₁₁=L₂+L_н; в₂₁=R₂+R_н; в₁₂= М.

Рис. 2.185

Рис. 2.186

Уравнения состояния и уравнения выходов модели рис.2.186 имеют вид:

pХ₁=( U₁а₂Х₂а₁Х₁)(1/а₀);

pХ₂=Х₁;

i₁=в₁₁Х₁+в₂₁Х₂,

i₂=в₁₂Х₁.

Реальный трансформатор. Рассмотрим синтез модели реального трансформатора по первому способу.

Рис. 2.187

Для его схемы рис. 2.187 справедлива система уравнений в операторной форме записи:

u ₁ = R₁(1+pT₁)i₁ + w₁pф;

 w₂pф = R₂(1+pT₂)i₂ + u₂; (2.65)

u₂ = R_н(1 + pT_н)i₂,

w₁i₁ + w₂iI₂ = R_м(1+pT_м)ф.

Или иначе

ш ₁ = (г₁  w₁pф)/[R₁(1+pT₁)];

ф = (w₁i₁ + w₂i₂)/[R_м(1 + pT_м)]; (2.66)

u₂ =  w₂pф  R₂(1+pT₂)i₂,

i₂ = u₂/[R_н(1+pT_н)].

Структурная схема трансформатора и ее детализированная структура показаны на рис. 2.188, а и 2.188, б. На схемах обозначено:

W₁ = 1/[R₁(1+pT₁)]; W₂ = 1/[R_m(1+pT_м)]; W₃ = 1/[R_н(1+pT_н)];

W₄ = R₂(1+pT₂); а = 1/R₁; b = 1/T₁; c= w₁; d = 1/R_m;

e = 1/T_m; f = w₂; g = 1/R_н; h = 1/T_н; m= R₂; n = T₂.

Рис. 2.188

Необходимо отметить, что структура рис. 2.188, б требует дальнейших преобразований, так как содержит замкнутый контур с безынерционными элементами (g, h, n и m). Для исключения этого контура сначала перенесем узел суммирования 1 со входа элемента m на его выход, а узел суммирования 2 с выхода элемента g на его вход (рис. 2.188, в), после чего свернем вновь образовавшийся контур (элементы 1/(L₂+L_н) и L₂) и объединим в одну две отрицательные обратные связи с коэффициентами передачи R₂ и R_н (рис. 2.188, г).

Перейдем к выполнению операции приведения параметров и переменных к первичной цепи трансформатора, для чего представим исходную структуру рис. 2.188, а в виде схем рис. 2.189 и 2.190.

Рис. 2.189

Рис. 2.190

На схеме рис.2.190 обозначено:

W₁ = 1/[R₁(1+pT₁)]; W₂' = W₁w₁w₂p;

W₃ = 1/[R_н(1+pT_н)], W₄ = R₂(1+pT₂).

Структурная схема рис.2.190 позволяет записать соотношения:

е_2пр = w₁/w₂е₂; R_2пр = (w₁/w₂)²R₂; L_2пр = (w₁/w₂)²L₂;

u_2пр = w₁/w₂u₂; R_нпр = (w₁/w₂) ²R_н; L_нпр = (w₁/w₂) ²L_н,

i_2пр = w₂/w₁i₂.

Из этих соотношений следуют выражения для коэффициентов приведения к первичной цепи переменных и параметров трансформатора:

К_e2 = w₁/w₂; К_R2 = (w₁/w₂) ²; К_L2 = (w₁/w₂) ²;

К_U2 = w₁/w₂; К_Rн = (w₁/w₂) ²; К_Lн = (w₁/w₂) ²; К_i2 = w₂/w₁.

Для приведения параметров и переменных к вторичной цепи представим структурную схему рис. 2.188, а в виде схемы рис. 2.191, где W₂'= w₂²W₂p.

Рис. 2.191

Из структурной схемы рис. 2.191 имеем:

u_1пр = w₂/w₁u₁;

i_1пр = w₁/w₂i₁; e_2пр = w₂/w₁е₁; R_1пр = (w₂/w₁) ²R₁,

L_1пр = (w₂/w₁) ²L₁.

Коэффициенты приведения переменных и параметров трансформатора к его вторичной цепи определятся выражениями:

К_e2 = w₂/w₁; К_R1 = (w₂/w₁) ²; К_U1 = w₂/w₁; К_L1 = (w₂/w₁) ²; К_i2 = w₁/w₂.

На рис. 2.192 приведены зависимости от времени токов, ЭДС, напряжений, мощностей и энергий в обмотках трансформатора при его включении на синусоидальное напряжение e=100sin(314t). Параметры трансформатора: R₁=0,02 Ом, R₂=0,05 Ом, R_н=0,5 Ом, R_m=50 Ом, L₁=0,0005 Гн, L₂=0,001 Гн, L_н=0,002 Гн, L_m=0,4 Гн, w₁=10, w₂=1.

Насыщение магнитопровода учитывается так же, как в случае катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником Детализированная структурная схема трансформатора показана на рис. 2.193.

Рис. 2.192

Рис. 2.193

Модели многофазных цепей. При расчете подобных систем могут использоваться различные методы анализа электрических цепей (контурных токов, непосредственного применения законов Кирхгофа, узловых потенциалов и т.п.). Среди известных методов широкое распространение получил метод узловых потенциалов [16], в котором в качестве независимых (искомых) переменных выбираются напряжения узлов схемы относительно базисного узла (потенциалы узлов схемы). Этому способствует то обстоятельство, что для большинства реальных схем электротехнических устройств число узлов меньше числа ветвей и данный метод приводит к минимальному числу совместно решаемых уравнений. Достоинством метода является также простота и наглядность процесса формирования узловых уравнений.

Следует заметить, что наибольшее применение в промышленности находят многофазные двухузловые цепи с синусоидально изменяющимися источниками напряжений (например, трехфазные). Наиболее рациональным методом определения токораспределения в таких схемах считается метод двух узлов, в котором за искомое (с его помощью определяют затем токи ветвей) принимают напряжение (Uab) между двумя узлами (a,b). Расчетные формулы [17] этого метода (Uab=∑(Ek·gk)/∑gk; Ik=(Ek-Uab)·gk, где Ek, Ik, gk – ЭДС, ток и проводимость k-ой ветви) получают из более общего метода – метода узловых потенциалов.

Отметим, что для анализа переходных процессов сложных электромеханических систем в настоящее время широко применяют программу Simulink, ориентированную на моделирование линейных и нелинейных динамических систем и устройств, представленных функциональной блок-схемой, именуемой S-моделью. Для построения S-моделей используется аппарат структурных схем, в том числе и детализированных [18].

Структура S-модели многофазной двухузловой цепи успешно может быть сформирована с использованием метода двух узлов на основе выше приведенных расчетных формул. Однако, как показал опыт построения динамических моделей двухузловых цепей [17], такие модели характеризуются низкой информативностью, громоздкостью и высокой трудоемкостью их создания. Кроме того, сформированная по расчетным формулам S-модель не отражает топологии исследуемой цепи.

Наличие в программе Simulink обширной библиотеки различных компонентов динамических систем позволяет существенно упростить технологию построения S-моделей многофазных двухузловых цепей максимально отражающих их топологию.

Ниже рассматривается метод формирования S-моделей непосредственно по схемам двухузловых цепей (без применения выше приведенных расчетных формул). При построении модели используются лишь уравнение узла, уравнения ветвей и их элементов, а также понятие узлового напряжения.

На рис.2.194. представлена общая структура S-модели многофазной двухузловой цепи. В расчетные соотношения токов первых k-1 ветвей (рис.2.195,а) входит напряжение между узловыми точками (Uab), вычисление которого производится на основании уравнения электрического равновесия, составленного для последней k-й ветви (рис.2.195,б). Ток же в последней ветви определяется суммой первых k-1 токов электрического узла (условно-положительные направления токов в ветвях учитываются знаком в общем “узловом” сумматоре).

Рис.2.194. Структура S-модели многофазной двухузловой цепи

а) б)

Рис.2.195. Прямая (а) и обратная (б) структуры ветвей

Для частного случая трехфазной двухузловой цепи структура S-модели будет иметь вид, приведенный на рис.2.196.

Рис.2.196. Структура S-модели трехфазной двухузловой цепи

На основании этого подхода легко могут быть составлены структурные схемы многофазных двухузловых цепей, применимые для оценки их динамических режимов работы с различными источниками питания и нагрузкой по фазам.

При анализе процессов в цепях по структурным схемам следует обратить внимание на возможность представления величин, характеризующих свойства элементов цепей (R, L, C), не на параметрическом, а на сигнальном уровне. Другими словами, те параметры, которые традиционно вводятся в передаточные функции моделей элементов как некоторые коэффициенты и постоянные времени, удобно учитывать, как входные переменные, что позволяет динамически изменять их в ходе расчета переходных процессов и обеспечивает широкие возможности в плане учета нелинейных свойств элементов цепей, исследования аварийных режимов и т.п.

В качестве иллюстрации на рис.2.197 представлены результаты моделирования переходных процессов в трехфазной цепи с соединением генератора и нагрузки по схеме “звезда-звезда”.

Рис.2.197. Диаграммы токов в трехфазной цепи при питании системой напряжений с разной частотой по фазам

В заключение отметим основные достоинства описываемого метода: простота составления модели любой фазности, а также топологическое соответствие схемы исследуемой цепи и ее динамической модели.