Сложная цепь с несколькими источниками питания. Рассмотрим сложную цепь с тремя источниками питания (рис.2.141).

Рис. 2.141

Динамику этой цепи можно описать следующими уравнениями:

i₁ + i₂ + i₃ = 0;

u_R1 + u_L1  u_R2 u_L2 = u₁  u₂;

u_R2 + u_L2  u_R3  u_L3 = u₂  u₃;

u_R1 = R₁i₁; u_L1 = L₁pi₁; (2.41)

u_R2 = R₂i₂; u_L2 = L₂pi₂;

u_R3 = R₃i₃, u_L3 = L₃pi₃.

Уравнения (2.16) для построения детализированной структуры (рис. 2.142) цепи целесообразно представить в виде:

для канала вычисления тока i₁

i₁ = u_L1/L₁(1/p);

u_L1 = e₁  e₂  u_R1 + u_R2 + u_L2;

u_R1 = R₁i₁; u_R2 = R₂i₂; u_L2 = L₂pi₂,

для канала вычисления тока i₂

i₂ = u_L2/L₂(1/p);

u_L2 = e₂  e₃  u_R2 + u_R3 + u_L3;

u_R2 = R₂i₂; u_R3 = R₃i₃,

u_L3 = L₃pi₃

и для канала вычисления тока i₃(p)

i₃ =  i₁  i₂.

Рис. 2.142

Выполним ряд структурных преобразований: перенос точки съема входного сигнала звена L₂p на вход второго интегратора и представление сумматора 1 в виде двух эквивалентных – получим детализированную структуру рис. 2.143, а; перенос узла суммирования 11 токов i₁ и i₂ со входа звена с коэффициентом передачи R₃ на его выход, а узла суммирования 12 – на выход звена с передаточной функцией L₃p – получим рис. 2.143, б; перенос точки съема входных сигналов дифференцирующих звеньев L₃p на входы интеграторов – получим детализированную структуру, представленную на рис. 2.143, в.

Из рис. 2.143, в запишем выражения для производных токов i₁ и i₂

pi₁ = [e₁  e₂  R₁i₁ + R₂i₂ + L₂pi₂]/L₁,

pi₂ = [e₂  e₃  (R₂+R₃)i₂  R₃i₁  L₃pi₁]/(L₂+L₃).

а) б)

в)

Рис. 2.143

После решения имеем уравнения состояния рассматриваемой цепи

pi₁ = {e₁  [1L₂/(L₂+L₃)]e₂  L₂/(L₂+L₃)e₃ 

[R₁+L₂R₃/(L₂+L₃)]i₁ +

+[R₂L₂(R₂+R₃)/(L₂+L₃)]i₂}/[L₁+L₂L₃/(L₂+L₃)] (2.42)

pi₂ = [ (L₃/L₁)e₁ + (1+L₃/L₁)e₂  e₃ 

 (R₂+R₃+R₂L₃/L₁)i₂ 

 (R₃R₁L₃/L₁)i₁]/(L₂+L₃+L₂L₃/L₁).

По уравнениям (2.42) составлена структура модели в переменных состояния цепи с тремя источниками питания, изображенная на рис. 2.144.

Рис. 2.144

В качестве примера на рис. 2.145 приведены зависимости токов, напряжений, мощностей и энергий элементов схемы рис. 2.141 (с заменой L₂ на емкость C) от времени при включении ее на систему ЭДС е₁=100sin(314t), e₂=10sin(314t), е₃=0. Параметры цепи: R₁=10 Ом, R₂=1 Ом, R₃=10 Ом, L₁=0,05 Гн, C=500 мкФ, L₃=0,2 Гн.

Рис. 2.145

Рис. 2.145 (продолжение)

Индуктивно связанные цепи.. На рис. 2.146 показана цепь с согласным и встречным включением двух последова­тельно соединенных индуктивно связанных катушек с собственными индуктивностями L₁, L₂, взаимными индуктивностями L₁₂, L₂₁ и активными сопротивлениями R₁ и R₂, находящихся под действием напряжения e(t).

Рис. 2.146

В соответствии со вторым способом уравнение соединения и уравнения элементов цепи рис. 2.146, а при согласном включении катушек

e = u_R1+ u_L1+ u_L12+ u_R2+ u_L2+ u_L21;

u_R1 = R₁i; u_R2 = R₂i;

u_L1 = L₁pi; u_L2 = L₂pi; (2.43)

u_L12 = L₁₂pi,

u_L21 = L₂₁pi

можно записать в виде:

u_L1 = eu_R1u_L12u_R2u_L2u_L21;

i = u_L1[1/(L₁p)];

u_R1 = R₁i; u_R2 = R₂i; (2.44)

u_L2 = L₂pi; u_L12 = L₁₂pi;

u_L21 = L₂₁pi,

которым соответствует детализированная структура последовательной цепи с двумя индуктивно связанными элементами, показанная на рис. 2.147.

После переноса точки съема входных сигналов дифференцирующих звеньев (L₂p, L₁₂p и L₂₁p) с выхода интегратора на его вход и исключения параллельно соединенных звеньев (рис. 2.148, а) а также свертывания внутреннего безынерционного (алгебраического) замкнутого контура структуру рис. 2.147 можно представить в виде схемы рис. 2.148, б.

Рис. 2.147

Рис. 2.148

Заметим, что операция исключения безынерционных замкнутых контуров из детализированных структурных схем в большинстве случаев является обязательной. Наличие замкнутого алгебраического контура говорит о незавершенности эквивалентных преобразований и не позволяет проводить анализ динамики цепи непосредственно по структурной схеме, так как выражение для переменной pХ = {[е  (R₁+R₂)Х  (L₂+L₁₂+L₂₁)pХ]}(1/L₁), записанное по схеме рис. 2.22, а, является неприведенным к уравнению в нормальной форме Коши (уравнению состояния) и требует дальнейших преобразований. Выражение же

pХ = [е  (R₁+R₂)Х]/(L₂+L₁₂+L₂₁),

записанное по модели рис. 2.148, б, является уравнением состояния.

В качестве примера на рис. 2.149 показаны зависимости напряжений, мощностей и энергий на элементах цепи R₁=5 Ом, R₂=1 Ом, L₁=0,02 Гн, L₂=0,01 Гн, L₁₂=L₂₁=0,005 Гн с встречными индуктивными связями при включении ее на синусоидальную ЭДС e=100sin(314t).

Методику составления моделей в переменных состояния сложных цепей с индуктивными связями рассмотрим на примере схемы рис. 2.150. Произвольно выберем положительное направление токов в ветвях цепи. Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке. Запишем уравнения по законам Кирхгофа для узла 1, а также левого (первая и вторая ветви) и правого (вторая и третья ветви) контуров цепи для мгновенных значений переменных.

Рис. 2.149

Рис. 2.150

Уравнения соединений цепи:

i₁ = i₂ + i₃;

u_R1+u_C1+u_L1+u_L13+u_C2+u_R2 = e₁, (2.45)

u_R2u_C2+u_L3+u_L31+u_R3 = e₃.

Уравнения элементов ветвей цепи:

u_R1 = R₁i₁; u_C1 = (1/C₁p)i₁;

u_L1 = L₁pi₁;

u_L13 = L₁₃pi = Mpi₃;

u_C2 = (1/C₂p)i₂; u_R2(p) = R₂i₂; (2.46)

u_L3 = L₃pi₃; u_L31 = L₃₁pi₁ = Mpi₁,

u_R3 = R₃i₃.

Сформируем канал вычисления тока i₁, для чего определим i₁ из третьего уравнения (2.46)

i₁ = u_L1(1/L₁)(1/p). (2.47)

Выражение для u_L1 определим из второго уравнения (2.45)

u_L1 = e₁u_R1u_C1u_L13u_C2u_R2. (2.48)

Используя (2.47) и (2.48) с учетом уравнений элементов из (2.46) для u_R1, u_C1, u_L13, u_C2 и u_R2, имеем структуру канала вычисления тока i₁, представленную на рис. 2.151.

Рис. 2.151

Для формирования канала вычисления тока i₃ найдем его вы­ражение из седьмого уравнения системы (2.46)

i₃ = u_L3(1/L₃)(1/p). (2.48)

Из третьего уравнения выражения (2.20) имеем:

u_L3 = e₃+u_R2+u_C2u_L31u_R3. (2.49)

По уравнениям (2.48) и (2.49) с учетом уравнений элементов для u_L31 и U_R3 из (2.46) сформирован канал вычисления переменной i₃ (рис. 2.152).

Рис. 2.152

Для получения развернутой структурной схемы (рис. 2.153) цепи объединим последние две структуры и учтем, что i₂ = i₁  i₃. После исключения из этой структуры дифференцирующих звеньев приходим к модели (рис. 2.154) с перекрестными связями по произ­водным токов i₁ и i₂ и замкнутым безынерционным контуром (элементы 1/L₁, L₃₁, 1/L₃ и L₁₃).

Рис. 2.153

Рис. 2.154

Введем обозначения: i₁=Х₁, u_С1=Х₂, u_C2=Х₃, i₃=Х₄ и запишем выражения для входных сигналов интеграторов

p Х₁ = [е₁(Х₁Х₄)R₂Х₃L₁₃pХ₄Х₂R₁Х₁]/L₁;

pХ₂ = (1/C₁)Х₁;

pХ₃ = (1/C₂)(Х₁Х₄), (2.50)

pХ₄ = [е₃+(Х₁Х₄)R₂+Х₃L₃₁pХ₁R₃Х₄]/L₃.

Путем ряда преобразований получим:

p Х₁ = а₁₁Х₁+а₁₂Х₂+а₁₃Х₃+а₁₄Х₄+в₁₁е₁+в₁₃е₃;

pХ₂ = а₂₁Х₁; pХ₃ = а₃₁Х₁+а₃₄Х₄; (2.51)

pХ₄ = а₄₁Х₁+а₄₂Х₂+а₄₃Х₃+а₄₄Х₄+в₄₁е₁+в₄₃е₃,

где

а₁₁ = [(МR₂)/(L₁L₃)+(R₁+R₂)/L₁]/[1М²/(L₁L₃)];

а₁₂ = (1/L₁)/[1М²/(L₁L₃)];

a₁₃ = [1/L₁+M/(L₁L₃)]/[1М²/(L₁L₃)];

a₁₄ = [R₂/L₁+M(R₂+R₃)/(L₁L₃)]/[1М²/(L₁L₃)];

в₁₁ = (1/L₁)/[1М²/(L₁L₃)];

в₁₃ = [M/(L₁L₃)]/[1М²/(L₁L₃)];

а₄₁ = [R₂/L₃+(M/L₃)(R₁+R₂)/L₁]/[1М²/(L₁L₃)];

а₄₂ = [M₁/(L₁L₃)]/[1М²/(L₁L₃)];

a₄₃ = [1/L₃+M/(L₁L₃)]/[1М²/(L₁L₃)];

a₄₄ = [(R₂+R₃)/L₃+(MR₂)/(L₁L₃)]/[1М²/(L₁L₃)];

в₄₁ = [M/(L₁L₃)]/[1М²/(L₁L₃)];

в₄₃ = (1/L₃)/[1М²/(L₁L₃)];

а₂₁ = 1/C₁; а₃₁ = 1/C₂, а₃₄ = 1/С₂.

По уравнениям (2.51) построена искомая модель в переменных состояния рассматриваемой цепи, изображенная на рис. 2.155.

Рис. 2.155

Трехфазные цепи. Произведем синтез структурной схемы трехфазной цепи, включенной по схеме "звезда-звезда" (рис. 2.156), непосредственно применяя законы Кирхгофа для точек и замкнутых контуров. После выбора положительных направлений токов i_а, i_в и i_с и направления обхода контуров (по часовой стрелке на рис. 2.156), на основании первого и второго законов Кирхгофа в операторной форме имеем

Рис. 2.156

i _а + i_в + i_с = 0;

e_ae_в = R_а(1+pT_а)i_аR_в(1+pT_в)i_в; (2.52)

e_вe_с = R_в(1+pT_в)i_вR_с(1+pT_с)i_с,

где Т_а = L_а/R_а, Т_в = L_в/R_в, Т_c = L_c/R_c – электромагнитные постоянные времени ветвей (фаз) цепи.

Выражения (2.52) целесообразно записать следующим образом:

i _а = [e_ae_в+R_в(1+pT_в)i_в]/[R_а(1+pT_а)];

i_в = [e_вe_с+R_с(1+pT_с)i_с]/[R_в(1+pT_в)], (2.53)

i_с = i_аi_в.

Теперь для рассматриваемой цепи можно изобразить структурную схему рис. 2.157. Развернутая структура этой модели содержит безынерционные замкнутые контуры (рис. 2.158). Для исключения указанных контуров вернемся к исходной модели (рис. 2.157), представим ее в виде структурной схемы, показанной на рис.2.159, а, и перенесем все дальнейшие рассуждения в структурную плоскость. На схеме рис. 2.159, а обозначено: e_ав = e_аe_в; e_вc = e_вe_с; Z_а = R_a+L_ap; Z_в = R_в+L_вp, Z_с = R_с+L_сp. Структурная схема относительно переменной i_а (рис. 2.159, ж) получена путем следующих последовательных преобразований:

- перенос точки съема входного сигнала звена Z_в на выход сумматора 1 (рис. 2.159, б);

- свертывание внутреннего контура (элементы 1/Z_а и Z_в) и принятие в качестве выходной переменной тока фазы i_а (рис.2.159, в);

- перенос входного воздействия e_вc с сумматора 1 на вход сумматора 2 (рис. 2.159, г);

- cвертывание внутреннего контура с элементами W_пк = 1 и W_ос = Z_c/Z_в (рис. 2.159, д);

- перенос воздействия e_вс с входа сумматора 2 на вход сумматора 1 (рис. 2.159, е),

- свертывание замкнутого контура с положительной обратной связью W_ос = Z_вZ_в/(Z_в+Z_с) (рис. 2.159, ж).

Рис. 2.157

Рис. 2.158

а) б)

в) г)

д) е)

ж)

Рис. 2.159

Свернув внутренний контур (элементы 1/Z_а и Z_в) и приняв в качестве выходной переменной ток фазы i_в, структуру рис. 2.159, б можно также представить в виде схемы рис. 2.160, а. После переноса входного воздействия e_ав с сумматора 1 на вход сумматора 2 (рис. 2.160, б), свертывания внутреннего контура с элементами W_пк=1 и W_ос =Z_в/(Z_а+Z_в) (рис. 2.160, в), переноса воздействия e_ав со входа сумматора 2 на вход сумматора 1 (рис. 2.160, г) и свертывания замкнутого контура (1/Z_в, Z_с(Z_а+Z_в)/Z_а) окончательно имеем структурную схему, изображенную на рис. 2.161.

а) б)

в) г)

Р ис. 2.160

Рис. 2.161

Если же в качестве выходной переменной принять ток фазы i_с, то структуру рис. 2.159, б можно представить в виде схемы, изображенной на рис. 2.162, а. После выполнения ряда преобразований, аналогичных предыдущим (перенос входного воздействия e_вc с сумматора 1 на вход сумматора 2, рис. 2.162, б; свертывание контура с элементами W_пк = 1 и W_ос = Z_c/Z_в, рис. 2.162, в; перенос выходного сигнала звена Z_в со входа сумматора 1 на вход сумматора 2, рис. 2.162, г и свертывание контура с элементами Z_в/(Z_в+Z_с) и Z_в/(Z_а+Z_в)), получаем модель, представленную на рис. 2.162, д.

а) б)

в) г)

д)

Рис. 2.162

Объединяя модели рис. 2.159, ж, рис. 2.161 и рис. 2.162, д, получаем полную структурную схему (рис. 2.163, а) рассматриваемой трехфазной цепи. Отметим, что на основе моделей рис. 2.159, ж, рис. 2.161 и рис. 2.162, д с учетом первого уравнения выражения (2.52) могут быть сформированы ее различные модификации (рис. 2.163, б, в, г).

а) б)

в) г)

Рис. 2.163

На рис. 2.164 показана цепь, в которой к источнику трехфазного напряжения, соединенному в звезду, присоединена нагрузка (Z_ав, Z_вс, Z_са), включенная в треугольник.

Рис. 2.164

Применяя к обозначенным контурам I, II и III второй закон Кирхгофа, получим:

e _а  e_в = (i_k1+i_k3)Z_а+i_k1Z_ав+(i_k1i_k2)Z_в;

e_в  e_с = (i_k2i_k1)Z_в+i_k2Z_вс+(i_k2+i_k3)Z_с; (2.54)

e_а  e_с = (i_k1+i_k3)Z_а+i_k3Z_са+(i_k2+i_k3)Z_с,

или

e _а  e_в = i_k1(Z_а+Z_ав+Z_в)i_k2Z_в+i_k3Z_а;

e_в  e_с = i_k2(Z_в+Z_вс+Z_с)i_k1Z_в+i_k3Z_с, (2.55)

e_а  e_с = i_k3(Z_а+Z_са+Z_с)+i_k1Z_а+i_k2Z_с.

Эти уравнения можно представить в виде, более удобном для построения структурной схемы цепи (рис. 2.165, а):

i _k1 = (e_ав+i_k2Z_вi_k3Z_а)/(Z_а+Z_ав+Z_в);

i_k2 = (e_вс+i_k1Z_вi_k3Z_с)/(Z_в+Z_вс+Z_с), (2.56)

i_k3 = (e_асi_k1Z_аi_k2Z_с)/(Z_а+Z_са+Z_с).

а)

б)

Рис. 2.165

На схеме рис. 2.165 обозначено: W₁=1/(Z_а+Z_ав+Z_в); W₂= =1/(Z_в+Z_вс+Z_с), W₃=1/(Z_а+Z_са+Z_с). Структура каналов вычисления линейных и фазных токов цепи, сформированная по уравнениям: i_ав = i_k1; i_вc = i_k2; i_ca = i_k3; i_a = i_k1+i_k3; i_в = i_k2  i_k1, i_c = i_k2i_k3, показана на рис. 2.165, б.

В качестве примера на рис. 2.166 приведены зависимости от времени напряжений, токов, мощностей и энергий в элементах фаз несимметричной цепи рис. 2.156 при включении ее на систему ЭДС (В): e_A=100sin(314t), e_B=100sin(314t120), e_C=100sin(314t+120). Параметры цепи R₂=R₃=10 Ом, R₁=20 Ом, L₂=L₃=0,01 Гн, L₁=0,02 Гн.

Рис. 2.166

Рис. 2.166 (продолжение)

Модели резистивных цепей. Анализ резистивных цепей простой конфигурации обычно проводят методом эквивалентных преобразований без применения формальных приемов составления и решения системы алгебраических уравнений цепи. При анализе же сложных цепей произвольной структуры, содержащих резистивные элементы и источники питания, используют различные классические методы, основанные на составлении уравнений цепи относительно выбранных переменных и их решении. При этом для цепей сложной структуры обычно используют запись системы алгебраических уравнений в матричной форме.

Необходимо отметить, что во всех случаях для анализа резистивных цепей методом математического моделирования на ПЭВМ используются специальные программные продукты, неприменимые для анализа динамики цепей с индуктивными и емкостными элементами.

Ниже рассмотрена методика анализа резистивных цепей методом пространства состояний, широко используемого для анализа динамических цепей (цепей с элементами, запасающими энергию), в основе которой лежит расчетная (искусственная) динамическая модель цепи. Синтез расчетной модели для анализа конечного токораспределения в резистивной цепи осуществляется в следующем порядке:

- составляют систему алгебраических (статических) уравнений исходной резистивной цепи;

- по системе уравнений формируют исходную (естественную непреобразованную) статическую структурную схему, состоящую из безынерционных звеньев и сумматоров;

- формируют расчетную (искусственную) динамическую структурную схему цепи, путем введения в прямые каналы (или в каналы обратных связей) замкнутых алгебраических контуров апериодических звеньев (фильтров) с фиктивными малыми постоянными времени;

- составляют детализированную (развернутую) структуру расчетной модели цепи;

- формируют уравнения состояния расчетной структуры цепи и ее модель в переменных состояния.

Предлагаемая методика позволяет произвести расчет токораспределения в резистивной цепи по расчетной структурной схеме, ее детализированному эквиваленту, уравнениям состояния, а также модели в переменных состояния с использованием стандартных программных пакетов анализа динамических цепей.

На рис. 2.167 приведена схема цепи, имеющая три резистивных ветви (R₁,R₂,R₃) и два источника напряжения (е₁,е₂).

Рис. 2.167

Применяя к этой схеме законы Кирхгофа, составляем три уравнения:

i₁ = i₂ + i₃;

e₁  e₃ = i₁R₁ + i₃R₃, (2.32)

e₁ = i₁R₁ + i₂R₂.

Уравнения (2.32) перепишем в виде:

i₃ = i₁  i₂;

i₁ = (e₁  e₃  i₃R₃)/R₁; (2.33)

i₂ = (e₁  i₁R₁)/R₂,

Системе уравнений (2.58) соответствует статическая структурная схема цепи (рис. 2.168), содержащая два явновыраженных алгебраических контура – внутренний (элементы 1/R₁ и R₃) и внешний (элементы 1/R₁, R₁, 1/R₂ и R₃). Заметим, что элементы 1/R₁ и R₃ являются общими для обоих контуров.

Рис. 2.168