2.2.2 Методы синтеза динамических моделей цепей

В основе синтеза динамической модели любой электрической цепи лежит система интегро-дифференциальных уравнений, либо система уравнений соединений и уравнений ее элементов [16].

В общем случае синтез исходных детализированных моделей по первому способу предусматривает выполнение следующей последовательности операций:

1. Составление системы интегро-дифференциальных уравнений рассматриваемой цепи.

2. Запись исходной системы уравнений в алгебраической форме путем введения операторов p и 1/p и ее аналитическое преобразование.

3. Представление модели цепи в виде детализированной структурной схемы.

4. Преобразование детализированной структурной схемы в структурную, состоящую в общем случае из комбинации типовых элементарных динамических звеньев, охваченных различными обратными связями, либо в модель в переменных состояния.

Развернутая динамическая модель цепи может быть получена также с помощью двух систем уравнений: уравнений соединений, которые определяются топологией цепи и устанавливают связи между токами и напряжениями ее отдельных элементов, и уравнений элементов, связывающих ток и напряжение каждого отдельного элемента.

Этот способ предусматривает следующие этапы синтеза:

1. Составление двух систем уравнений цепи и их преобразование.

2. Составление детализированной динамической модели, которая при необходимости, путем структурных преобразований может быть приведена к модели в переменных "вход-выход" (к структурной схеме) либо к модели в переменных состояния.

2.2.3 Моделирование электрических цепей

Последовательная двухэлементная RL-цепь. Рассмотрение методов синтеза моделей начнем с простейших двухэлементных цепей первого порядка в виде RL-контуров. Для цепи (рис.2.128), состоящей из последовательно соединенных индуктивности L и резистивных элементов R₁, R₂, питающихся от источника напряжения е (t), справедливо дифференциальное уравнение

Рис. 2.128

e = R·i + Ldi/dt, (2.26)

где e = e (t) – напряжение на зажимах цепи; R = R₁+R₂ – суммарное активное сопротивление цепи.

Уравнение (2.26) после введения обозначения d/dt = p

e = R·i + L·p·i. (2.27)

Ток контура i из (2.27) определится выражением:

i = e/(R+pL) (2.28)

или иначе,

i = e/[R(1+pT)], (2.29)

где T = L/R – электромагнитная постоянная времени контура.

Выражениям (2.28) и (2.29) соответствуют модели в переменных "вход-выход" (структурные схемы рис. 2.128), которые могут быть представлены в виде детализированных структур, показанных на рис.2.129. Следует помнить, что звенья компьютерной модели (например, в программе SIMULINK) осуществляют численные операции над переменными во временной области, поэтому оператор «р» или аргумент «t» в обозначениях переменных на структурных схемах в дальнейшем отсутствует, а выражение типа pi означает производную временной функции i. На схемах рис. 2.129: i_с – свободная составляющая тока, обусловленная процессами, протекающими в цепи без участия источника е(t); i_в  вынужденная составляющая тока, обусловленная действием источника напряжения e (t).

Рис.2.128

Рис.2.129

Если перенести узел суммирования токов i_в и i (рис. 2.129, а) со входа звена R/L (либо звена 1/T рис. 2.129, б) на вход звена 1/р, то получим модель в переменных состояния рассматриваемой цепи в нормализованном виде (рис. 2.130). Отметим, что эта модель может быть получена непосредственно из уравнения (2.27) после представления его в виде выражения: p·i =  (R/L)·i + (1/L)·e.

Рис. 2.130

При исследовании переходных процессов динамическую модель цепи целесообразно дополнить каналами измерения мгновенных значений напряжений и энергетических переменных (мощности и энергии) контура и его элементов. Каналы измерения мгновенных значений напряжения, мощности и энергии элементов цепи могут быть сформированы на основе следующих уравнений:

u_R1(t) = R₁·i(t); u_R2(t) = R₂·i(t); u_L(t) = Ldi/dt·i(t);

S(t) = e(t)·i(t); P_R1(t) = u_R1(t)·i(t); P_R2 (t) = u_R2(t)·i(t); (2.30)

G_L(t) = u_L(t)·i(t); W(t) = S(t)dt;

W_R1 (t) = P_R1 (t)dt; W_R2 (t) = P_R2 (t)dt; W_L (t) = G_L (t)dt,

где u_R1(t), u_R2 (t), u_L(t) – мгновенные значения напряжений на резистивных элементах и индуктивности; S(t),W(t); P_R1(t), W_R1(t); P_R2(t), W_R2(t); G_L(t), W_L(t)  мгновенные значения мощностей и энергий источника, резистивных элементов и индуктивности соответственно.

Полная развернутая структура модели цепи с учетом энергетических переменных выражения (2.30) показана на рис. 2.131.

Для оценки корректности расчета динамических процессов эту модель целесообразно снабдить контрольными каналами с использованием уравнений баланса мгновенных мощностей и энергий:

S(t)= P_R1(t)+P_R2(t)+ G_L(t), W(t)= W_R1(t)+W_R2(t)+W_L (t).

Рис.2.131