2.1.1.4 Методология математического моделирования цепей

Математическим моделированием электрических цепей и процессов будем называть замещение схемы-объекта математической моделью и получения адекватных результатов, описывающих особенности поведения исходного объекта.

Разновидностью математического моделирования будем считать схемотехническое моделирование – схемотехническую реализацию исходной задачи с применением моделей и макромоделей типовых элементов электрических схем в языковом базисе теории цепей.

Практическое применение моделирующих программ показывает их быстрое моральное устаревание, когда первоначально популярные продукты вытесняются более продвинутыми (например, с позиций интерфейса, взаимодействия с внешними аппаратными устройствами).

В связи с изложенным выше, в дальнейшем рассмотрении будем реализовывать методологию, основанную на приоритетном изучении фундаментальных основ теории и наиболее эффективных методов моделирования. Первостепенное внимание здесь следует обратить именно на те особенности технологии моделирования, которые, как правило остаются недоступными для конечного пользователя. Это обусловлено те только их выполнением в закрытом режиме, но и определенными трудностями их унификации, достаточно сложным и разнородным математическим аппаратом, а также громоздкостью некоторых вычислительных алгоритмов.

Для моделирования электрических и электронных цепей, систем управления удобно применять рассмотренное ниже программно-методическое оснащение, включающее помимо программного обеспечения необходимые руководящие указания и библиотеки математических моделей. В качестве средств реализации процедуры моделирования ниже рассмотрено использование метода переменных состояния, метода расширенных узловых уравнений, метода LU-разложения, интегрированного в программной среде, метода Ньютона – Рафсона, метода дискретных моделей, метода наложения и некоторых других, для решения частных задач моделирования.

2.1.2 Применение основных методов и их машинная реализация

Совершенно очевидно, что для решения серьезных задач моделирования режимов технических устройств в недостаточно формулировки основных законов в формате законов сохранения. Необходимо применение мощных, гибких и эффективных вычислительных методов, построенных на основе столь же эффективных методов и методик электротехники.

Ниже рассмотрены наиболее эффективные вычислительные методы, используемые в программных комплексах, предназначенных для математического моделирования электрических цепей.

2.1.2.1 Применение метода переменных состояния

В теории цепей широко применяют метод переменных состояния (МПС). Это обусловлено его универсальностью и относительной простотой машинной интерпретации метода к электротехническим задачам.

МПС основан на решении двух групп уравнений, которые записывают в матричной форме. Первая группа ‑ это дифференциальные уравнения цепи относительно переменных состояния. Их записывают в канонической форме, то есть представляют решенными относительно первых производных переменных состояния по времени. Такая запись удобна для решения на ЭВМ:

,

где – матрица переменных состояния; – матрица производных по времени от переменных состояния; – матрица состояния; – матрица внешних воздействий, которыми являются ЭДС источников ЭДС и токи источников тока.

В качестве переменных состояния выбирают величины, подчиняющиеся законам коммутации, то есть токи в индуктивных катушках и напряжения на конденсаторах.

Матрица состояния всегда квадратная, размером , где – число переменных состояния. Если , матрица состояния

.

Используя матрицу состояния получают характеристическое уравнение

.

В этом уравнении .

Вторая группа состоит из алгебраических уравнений. Они связывают матрицу выходных величин с матрицами переменных состояния и внешних воздействий :

.

Разработаны различные способы составления уравнений по методу переменных состояния. Рассмотрим способ, использующий принцип наложения. Этот способ можно применять, если в схеме нет контуров, все ветви которых содержат конденсаторы, и нет узлов с ветвями, каждая из которых содержит индуктивную катушку.

Уравнения переменных состояния являются системой дифференциальных уравнений. Порядок системы равен количеству динамических (емкостный и индуктивных) элементов в цепи. Поэтому для расчета уравнений переменных состояния используют различные методы численного интегрирования дифференциальный уравнений. Более подробно с ними можно познакомиться в литературе по математическому анализу. После интегрирования уравнений переменных состояния, рассчитывают выходные величины по алгебраическим уравнениям.