1.3.4 Стохастические методы оптимизации

Если целевая функция имеет множество локальных минимумов, то глобальный минимум (оптимум) предпочтительнее искать при помощи стохастических методов оптимизации, т.к. для такого типа задачи они более надежны, чем детерминистские. Стохастические методы также называют глобальными алгоритмами оптимизации. К ним относятся метод случайных блужданий, метод отжига и генетические алгоритмы (ГА) [32]. Все они ищут оптимум, путем моделирования реальных процессов, происходящих в жизни. Так метод случайного блуждания эквивалентен физическому броуновскому движению, а метод отжига аналогичен процессам в термодинамике металлов и жидкостей. ГА – наиболее приемлемый и точный метод для поиска оптимальных значений сложных функций, зависящих от нескольких независимых параметров [33]. ГА разработаны на основе эволюционной теории Дарвина о механизме эволюции, связанном с генетическими процессами живых организмов. В настоящее время, этот метод получает все большее и большее распространение из-за универсальности и надежности поиска оптимального минимума целевой функции, имеющей множество локальных минимумов, а также из-за их хорошей и устойчивой сходимости.

1.3.5 Выбор метода решения задачи оптимального проектирования

Методы случайного поиска отличаются от детерминированных тем, что оптимизируемые параметры в процессе поиска минимума функции качества определяются с элементом случайности. Эти методы эффективны при большом числе переменных и сложных целевых функций (например, при наличии локальных экстремумов), но вообще стохастические методы являются универсальными, применимыми к любым задачам. В свою очередь детерминированные методы могут применяться только в хорошо изученном случае. При решении реальных задач оптимизации такая хорошо изученная ситуация наблюдается не всегда. Большинство детерминированных методов носит эвристический характер. К ним относятся релаксационный метод, метод конфигураций, метод Розенброка, симплексный метод, метод деформируемого многогранника и т. д.

Несмотря на сравнительно малое количество необходимых вычислений целевой функции, детерминистские методы имеют некоторые существенные ограничения, свойственные для этой группы методов. В случае мультимодальной целевой функции, они часто не в состоянии найти глобальный оптимум. Чтобы увеличить вероятность нахождения решения – глобального оптимума, необходимо повторить процедуру оптимизации несколько раз из различных стартовых точек. К тому же, детерминистские методы чувствительны к гладкости поверхности целевой функции, которую нельзя все время гарантировать в случае использования численных моделей. Если поверхность целевой функции гладкая, (рисунок 1.4), то детерминистским методам оптимизации нет альтернативы.

Рис. 1.4 – Поверхность гладкой целевой функции

Но если поверхность целевой функции (рисунок 1.5) имеет множество экстремумов, то детерминистский алгоритм может найти локальный, а не глобальный оптимум. В таком случае более предпочтительно провести в начале глобальный поиск области глобального оптимума, используя стохастическую оптимизацию, а затем сам оптимум с применением детерминистских алгоритмов.

Рис. 1.5 – Поверхность многоэкстремальной целевой функции

Сравнение детерминистических и стохастических алгоритмов оптимизации показывает, что для относительно простых целевых функций применять стохастические алгоритмы нецелесообразно, т.к. детерминистические алгоритмы находят оптимальное решение на порядок быстрее, но точность и достоверность оптимального решения найденного при помощи стохастических алгоритмов на порядок выше [34 – 41]. Для сложных функций, в отличие от детерминистических алгоритмов оптимизации, стохастические алгоритмы всегда находят правильное решение и делают это на порядок быстрее.