1.3.3 Детерминистские методы оптимизации

Детерминистские математические методы были разработаны, прежде всего, для решения простых проблем оптимизации, когда определен путь поиска целевой функции. Каждый повторный оптимизационный поиск с одинаковыми стартовыми условиями и идентичными критериями ведет к одному результату [24, 27, 28, 29].

Самые простые и не надежные детерминистские методы, это методы поиска без ограничений. Для поиска целевой функции с одной независимой переменной используют такие методы как, методы Фибоначи, Пауэлла, Брэнта, Давидона, а также метод золотого сечения. Недостаток этих методов заключается в том, что нам заранее надо знать интервал, в котором лежит минимум функции, а он в большинстве инженерных задач неизвестен. Еще одно ограничение применения этих методов заключается в том, что на данном интервале может быть только один минимум, иначе программа может найти локальный, а не глобальный минимум. Суть этих методов заключается в поиске минимума функции вычислением значений функции в выбранных точках интервала поиска. Наиболее приемлемым из этих методов является метод Брэнта, который базируется на квадратичной интерполяции функции.

Метод Хука-Дживса и симплексный метод (метод Нелдера-Мида) используются для прямого поиска целевой функции с несколькими независимыми переменными [25, 27, 30]. Эти методы могут быть успешно и эффективно применены для большинства задач оптимизации, но только в том случае, если функция имеет единственный минимум. Наиболее хорошо себя зарекомендовал симплексный метод, но только до тех задач, пока количество независимых переменных меньше пяти.

Следующая группа, это градиентные методы [25, 27, 30]. К ним относятся методы наискорейшего спуска, Давидона-Флетчера-Паули и метод Флэтчера-Ривса. Они также предназначены для поиска целевой функции с несколькими неизвестными переменными. В градиентных методах поиска помимо значений функции еще рассматривается ее градиент, поэтому они не получили широкого распространения. Эти методы базируются на основе тех методов, что осуществляют поиск из базисной точки в направлении параллельном оси координат в сторону минимума функции. В градиентных методах за направление поиска берется направление противоположное направлению градиента функции, т.к. в этом направлении функция убывает наиболее быстро, а это сокращает время оптимизационного поиска.

Наибольшее распространение в практической оптимизации получили детерминистские методы поиска при наличии ограничений [25, 27, 31]. Это вызвано только математической стороной методов оптимизации, т.к. сокращается время и увеличивается точность оптимизационного поиска. К методам поиска при наличии ограничений относятся методы Бокса (комплексный метод) и модифицированный метод Хука-Дживса. Наилучшие результаты показал метод Бокса. Он разработан на основе симплексного метода с возможностью вводить ограничения. Он является очень надежным инструментом, который относительно быстро находит искомый оптимум. Существенный недостаток этого метода заключается в том, что точность определения глобального минимума существенно зависит от выбора стартовых точек, особенно если численная модель вызывает большой численный шум. Тогда на помощь приходят стохастические методы оптимизации.

К последней группе детерминистских алгоритмов можно отнести методы последовательной оптимизации без ограничений. К этой группе относятся метод SUMT (метод Фиакко и Маккормика), а также метод штрафных функций. Наибольшее распространение получили методы штрафных функций [25, 28].

С помощью штрафной функции исходная задача оптимизации с наложенными ограничениями преобразуется в задачу поиска оптимального решения функции без ограничений. Суть данного метода заключается в создании вдоль границы допустимой области поиска оптимума как бы "барьера" из бесконечно больших значений функции – штрафов. Штраф определяется так, чтобы допустимые точки поиска минимума функции имели бы преимущество перед недопустимыми.