Математическое планирование эксперимента для проведения регрессионного анализа.

В современных условиях, учитывая многогранность изучаемых явлений, острый дефицит времени, высокую стоимость эксплуатации научного оборудования, необходимо стремиться к наиболее рациональным планам проведения эксперимента.

Применение методов математического планирования эксперимента для проведения регрессионного анализа (РАМПЭ) приводит к увеличению точности получаемого уравнения регрессии, а иногда и к значительному сокращению числа опытов.

В основу методов математического планирования эксперимента для проведения РА положен принцип "черного ящика". Суть этого принципа заключается в том, что исследователь, не зная об истинных закономерностях поведения объекта, описывает его с помощью статистических математических моделей.

Образно говоря, "ударяя" по исследуемому объекту изменением входных параметров (x_j) в ходе эксперимента (рис. 1.8) и измеряя его реакцию (y_v) на эти "удары" при действии случайных факторов (w_z), можно получить статистическую математическую зависимость, пригодную для прогноза поведения объекта.

Рис. 1.8 - Схема объекта по принципу "черного ящика"

В отличие от детерминированных математических моделей объекта, построенных на основе фундаментальных законов физики, механики, химии или других, статистические математические модели получают, описывая зависимости выходных параметров (свойств, откликов) объекта от изменения входных параметров (факторов) с помощью полиномов различной степени.

Статистической математической моделью объекта является функция или набор функций, описывающих зависимость величин выходных параметров (свойств, отклика) объекта (y_v) от значений входных параметров (x_j):

y_v = _v(x₁, x₂, x₃, ..., x_j, ..., x_k) + (w₁, w₂, w₃, ..., w_z, ...) ,

где  - вклад в изменение свойств объекта случайных факторов.

Наиболее часто в качестве статистической модели объекта используют приближенные уравнения регрессии:

.

Известно, что любую функцию (в том числе  и f) можно разложить в ряд Тейлора и представить в виде конкретного полинома определенной степени (конечного отрезка ряда Тейлора) вида:

…,

где  и b - соответственно генеральные и выборочные коэффициенты ряда Тейлора.

По результатам эксперимента возможно определить вид полинома только с выборочными коэффициентами, которые характеризуют:

b₀ - величину y при нулевом значении всех факторов (свободный член);

b₁, b₂, ..., b_j, ..., b_k - линейные эффекты влияния соответствующих факторов на величину y;

b₁₂, b₁₃, ..., b_1j, ...,b_1k, b₂₃, b₃₄, ..., b_2j, ..., b_(k-1)j, ..b_(k-1)k - парные эффекты влияния соответствующих факторов на величину y (эффекты "взаимодействия" двух соответствующих факторов);

b₁₁, b₂₂, ..., b_jj, ..., b_kk - квадратичные эффекты влияния соответствующих факторов на величину y;

b₁₂₃, b₁₂₄, ..., b_1uj, ..., b₂₃₄, b₂₃₅, ..., b_2uj, ..., b_(k-2)(k-1)k - тройные эффекты влияния соответствующих факторов на величину y (эффекты "взаимодействия" трех соответствующих факторов) и т.д.

Наиболее удобно планировать эксперимент математическими методами для кодированных значений факторов (x_j), получаемых из натуральных значений (X_j) по следующим формулам:

; ; ,

где - натуральное значение фактора в центре (середине) выбранной

(заданной) области изменения (варьирования) фактора, и - соответственно максимальное и минимальное значения фактора в выбранной области его изменения. В соответствии с этими формулами натуральному значению X_j = соответствует кодированное значение x_j = 0; X_j = - кодированное значение x_j = +1, а X_j = - значение x_j = -1.

Переход от кодированных значений факторов к натуральным осуществляют по формуле:

.

Выбор плана эксперимента для применения РАМПЭ в отличие от планирования экспериментов для проведения КРА определяется видом выбранного семейства функций (видом полинома).

После завершения эксперимента для проведения РАМПЭ выполняют следующие действия:

1. Выбирают вид полинома (отрезок ряда Тейлора) для поиска уравнения регрессии.

2. Для выбранного полинома с помощью МНК рассчитывают параметры функции (выборочные коэффициенты уравнения регрессии).

3. Проверяют рассчитанные выборочные коэффициенты уравнения регрессии на значимость (равенство нулю).

4. Корректируют вид исходной функции, исключая из нее незначимые коэффициенты и другие составляющие.

5. Оценивают ошибки, допускаемые при описании истинной зависимости  с помощью найденного уравнения регрессии: проверяют адекватность уравнения регрессии с помощью распределения Фишера или рассчитывают вероятность описания зависимости  функцией f.

6. Если точность найденного уравнения регрессии не удовлетворяет, то выбирают, планируют и реализуют другой план эксперимента для поиска уравнения регрессии в другом семействе полиномов (например, полиномов более высокого порядка).

Порядок проведения РАМПЭ в отличие от КРА имеет следующие особенности:

1. Выбирается только один класс функций - полиномы.

2. Используется только один метод приближения - МНК.

3. После корректировки уравнения регрессии его коэффициенты не пересчитываются.

4. Выполняется меньшее количество этапов РА.

Обычно поиск уравнения регрессии начинают в семействе самых простых полиномов: первого и второго порядка. По названиям степеней полиномов называют и планы эксперимента для применения РАМПЭ [43, 46, 47].