1.5.2 Выбор и составление плана эксперимента

Наиболее часто при выполнении НИР целью экспериментальных исследований является получение математической модели объекта, т.е. математической зависимости  свойства изучаемого объекта (условно обозначим его y ) от значений факторов (x_j ), влияющих на эти свойства: y = (x₁, x₂, ..., x_j, ...x_k ) + , где  - величина, не зависящая от x_j ( назовем ее случайной величиной).

Выбор плана эксперимента зависит от того, какой характер зависимости  вы желаете получить: качественный или количественный. Зависимость  является качественной, если она выражается словами, например: " x_j влияет на y", " увеличение x_j уменьшает значение y" и др. Зависимость  является количественной, если она представляет собой уравнение или систему уравнений.

Так как результаты измерений значений x_j и y являются случайными величинами, то для установления зависимости  необходимо использовать соответствующие методы математической статистики.

Для получения качественной зависимости  наиболее часто используют методы корреляционного и дисперсионного анализов, для получения количественной зависимости - метод регрессионного анализа. Производными от этих методов являются другие методы: ковариационного, кластерного, факторного анализов и др.

Планирование эксперимента для применения корреляционного анализа. Корреляционный анализ - это один из наиболее простых методов математической статистики, позволяющий качественно предсказывать изменения y при изменяющихся значениях x_j (устанавливать связь между этими случайными величинами).

Если каждому значению x_j соответствует всегда строго определенное значение y, то считают, что между этими величинами существует функциональная связь, т.е. зависимость  является функциональной. При наличии и знании такой зависимости можно точно предсказывать величину y, задавая конкретное значение x_j.

Однако на практике функциональные зависимости обнаруживаются очень редко, поскольку на все результаты измерений оказывают влияние различные случайные факторы.

В большинстве случаев, задавая конкретное значение x_j, можно предсказать лишь тенденцию изменения y. Эта тенденция обнаруживается лишь при достаточно большом числе m_j различных значений (уровней) изменяемого фактора x_j, а при малых величинах m_j данная тенденция может не наблюдаться (рисунок 1.6).

Рис. 1.6 – Влияние числа значений х (m) на тенденцию изменения y: 1 - тенденция изменения y при m = 8, 2 - тенденция изменения y при m = 3

Связь между y и x, представленная на рисунке 1, называется корреляционной (стохастической). Чем больше корреляционная связь соответствует функциональной связи, тем более тесной она считается.

Корреляционная связь имеет два крайних предельных случая: функциональная связь (самая тесная зависимость y от x_j) и полное отсутствие связи (влияния x_j на y ).

Наличие между y и x_j корреляционной или функциональной связи устанавливается только в результате проведения корреляционного анализа.

При корреляционном анализе отражают следующие выводы в форме слов:

1. Наличие зависимости между y и x_j ("есть" или "нет" и др.)

2. Характер зависимости ("функциональная" или "корреляцион­ная") и ее тип ("линейная", "нелинейная", "экспоненциальная", "пара­болическая", "синусоидальная" и др.)

3. Знак связи: "положительная" - если с увеличением величины значений x_j растет величина y ; "отрицательная" - если с уменьшением величины значений x_j снижается величина y.

4. Теснота (сила) корреляционной связи ("очень тесная", "тесная", "не очень тесная", "ярко выраженная", "выраженная", "слабо выраженная" и др.)

Корреляционный анализ проводят двумя методами: анализом поля корреляции и анализом коэффициента линейной корреляции [42, 43].