15. Неполная индукция

Если в выражение п² + я + 41 вместо п подставлять числа 1, 2, 3, 4 и т. д., то можно заметить, что при п = \ значение выражения равно простому числу 43, при п = 2 значение выражения равно простому числу 47, при п = 3 значение выражения равно простому числу 53 и т. д.

Опираясь на полученные результаты, можно заключить, что при любом натуральном п значение выражения л² + л + 41 есть простое число.

Известно, что 15 делится на 5, 25 делится на 5, 35 делится на 5, 95 делится на 5. Учитывая это, заключаем, что любое число, запись которого оканчивается цифрой 5, делится на 5.

В рассмотренных рассуждениях мы на основании ряда част­ных случаев сделали общий вывод. Такие рассуждения называют неполной индукцией.

Неполная индукция представляет собой такое рассуждение, при котором на основании того, что некоторые объекты совокуп­ности обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты этой совокупности.

Выводы, полученные при неполной индукции, могут быть как ис­тинными, так и ложными. Так, вывод о том, что любое число, запись которого оканчивается цифрой 5, делится на 5, истинен. А утверждение «При любом натуральном п значение выраже­ния я² + я + 41 есть простое число» ложно. Действительно, если п = 4\, получаем 4Р + 41 +41 = 41² + 2-41 =41 -(41 + 2) = 41 -43, т. е. значение выражения я² + /г + 41 оказывается составным числом.

К выводам, полученным при помощи неполной индукции, на­до относиться критически. Эти выводы носят характер предполо­жения, гипотезы, которую следует либо доказать (дедуктивным способом), либо опровергнуть. Таким образом, в процессе по­знания дедуктивные и индуктивные рассуждения оказываются вза­имосвязанными.

Несмотря на то что индуктивные рассуждения не всегда при­водят к правильным выводам, роль их в изучении математики и других предметов велика. В ходе индуктивных рассуждений фор­мируется умение видеть общее в конкретных, частных случаях, высказывать догадки.

В начальной школе неполный индуктивный вывод.применяется часто. Как правило, все общие закономерности здесь выводятся индуктивным путем. Так обосновываются переместительные законы сложения и умножения, равенства 0 + а = а, 1 -a = a, а: 1 = а, 0-а = 0 и другие закономерности.

38

Кроме неполного индуктивного вывода, в начальных клас­сах широко используется вывод по аналогии¹, при котором осу­ществляется перенос знаний с изученного объекта на другой, менее изученный объект. Основой для переноса служат разно­сторонние знания признаков сходства и различия этих объектов.

Аналогия важна тем, что наводит нас на догадки, предпо­ложения. Кроме того, аналогия способствует развитию математи­ческой интуиции, она является важным источником ассоциаций, способствующих глубокому усвоению предмета.

Однако нельзя забывать о том, что получаемые по аналогии выводы могут оказаться как истинными, так и ложными. Выво­ды, полученные по аналогии, должны доказываться дедуктивным способом.

Упражнения

1. Каким числом может быть сумма двух четных чисел? Рас­смотрите несколько частных случаев и выскажите предположение. Каким образом можно доказать его истинность?

2. Рассмотрите равенства: 1²=1, 3² = 9, 5² = 25, 7² = 49. Выс­кажите какое-либо заключение относительно квадратов нечетных чисел и укажите возможный способ установления его истинности.

3. Разделите каждое из чисел З², 5², 7² на 4. Чему в каждом из этих случаев равен остаток? Какое предположение можно выска­зать на основе полученных результатов? Сколько нечетных чисел нужно было бы возвести в квадрат и разделить на 4, чтобы гарантировать истинность высказанного предположения?

4. Найдите значение выражения п² — гс+11 при п = 1, 2 и 3. Можно ли на основании полученных ответов утверждать, что зна­чение выражения п² — /г+11 при любом натуральном п есть число простое?

5. Выясните, каким образом учащиеся начальных классов убеждаются в истинности следующих высказываний:

1) 0 + а = а; 2) Ьа = а; 3) 0-а = 0; 4) ab = ba.

6. По аналогии с признаками делимости на 3 и на 9 уча­ щийся сформулировал такой признак делимости на 27:

«Для того чтобы число делилось на 27, необходимо и достаточ­но, чтобы сумма цифр в записи этого числа делилась на 27». Верен ли вывод, сделанный учащимся?

7. Выполняя деление 96 на 16, учащийся получил частное 10 и обосновал свои действия так: 96:16 = 90:10 + 6:6 = 9+1 = 10. Какие теоретические факты ошибочно использовал учащийся?

Подробнее об аналогии и других видах рассуждений можно, например, про­читать в книге: И в и н А. А. Искусство правильно мыслить.— М., 1986.

30

16. Способы доказательства истинности высказываний

Основным способом математических доказательств является дедуктивный вывод. При этом математическое доказательство представляет собой такую цепочку дедуктивных рассуждений, что заключение каждого из них, кроме последнего, является посыл­кой в одном из последующих рассуждений.

Доказательство истинности утверждения 7<8 состояло из одного рассуждения, содержащего один шаг.

Рассмотрим примеры доказательств, состоящих из двух и более шагов рассуждений.

Пример I. Докажем, что каждая диагональ разбивает • параллелограмм на два равных треугольника.

Доказательство. I. В любом параллелограмме противо­положные стороны равны; ABCD — параллелограмм (рис. 9), следовательно, AB = CD, ВС— AD. Рассуждение проведено со­гласно правилу заключения, значит, полученный вывод истинен.

2. Если три стороны одного треугольника равны соответст­венно трем сторонам другого треугольника, то такие треуголь­ники равны: AB = CD, BC — AD, сторона АС общая, следователь­но, треугольники ABC и ACD равны.

И в этом случае рассуждение велось по правилу заключения, значит, вывод истинен. Теорема доказана.

Заметим, что доказательство теоремы состояло из двух ша­гов рассуждений, проведенных в полной логической форме с ука­занием всех посылок. Однако такие доказательства громоздки, и поэтому обычно их ведут в свернутой, сокращенной форме, опус­кая отдельные посылки в схемах рассуждений.

Например, проведенное нами доказательство в свернутой фор­ме может быть таким: в треугольниках ABC и ACD стороны АВ и CD, AD и ВС равны как противоположные стороны паралле­лограмма ABCD, сторона АС у них общая, следовательно, тре­угольники ABC и ACD равные.

Пример 2. Докажем, что диагонали ромба взаимно перпен­дикулярны.

Доказательство. Проведем его сначала в свернутой форме. Рассмотрим треугольники АОВ и AOD (рис. 10). В них

дВ = АО — стороны ромба; BO = OD, так как в точке пересечения диагонали ромба делятся пополам; АО — общая сторона. Следо­вательно, аАОВ= AAOD.

Из равенства этих треугольников имеем, что /_АОВ= AAOD, но эти углы смежные. Поэтому углы АОВ и AOD прямые, и, сле­довательно, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Выполним логический анализ доказательства, т. е. выделим цепочку рассуждений и установим используемое в каждом звене правило вывода.

1. В ромбе все стороны равны; ABCD — ромб, следовательно, AB = AD (правило заключения).

2. В ромбе диагонали делятся в точке пересечения попо­ лам; ABCD — ромб, следовательно, BO — OD (правило заклю­ чения).

3. Если три стороны одного треугольника равны соответствен­но сторонам другого треугольника, то такие треугольники рав­ны;' AB = AD, BO = OD, сторона АО общая, следовательно, тре­угольники АОВ и AOD равны (правило заключения).

4. Если треугольники равны, то их соответственные углы равны; Д A OB = AAOD, следовательно, /LBOA = /_AOD (правило заключения).

5. Если смежные углы равны, то они прямые; углы АОВ и AOD смежные и равные, следовательно, они прямые (правило заключения).

6. Если прямые при пересечении образуют прямые углы, то они перпендикулярны; углы АОВ и AOD прямые, следовательно, диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны (правило заклю­чения).

Таким образом, доказательство данного предложения пред­ставляет собой цепочку дедуктивных рассуждений, проводимых в каждом случае по правилу заключения, которое обеспечивает истинность выводов. Заключение каждого из рассуждений, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих рассуж­дений.

По способу ведения доказательства подразделяются на пря­мые и косвенные. Все рассмотренные ранее доказательства были прямыми: в них, основываясь на каком-либо истинном предло­жении, строилась цепочка дедуктивных рассуждений, приво­дившая к истинному заключению.

К прямым доказательствам относится и полная индукция, о которой шла речь в п. 8.

Примером косвенного доказательства является доказательство способом от противного.

Рассмотрим пример такого доказательства. Докажем, что если две различные прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны между собой.

41

Доказательство. Допустим противное, т. е. что прямые а и Ь не параллельны между собой. Тогда они пересекутся в не­которой точке Р, не принадлежащей прямой с. Так как по условию '• а параллельна cub параллельна с, то приходим к тому, что че­рез точку Р вне прямой с можно провести две различные пря­мые, параллельные прямой .с. Это высказывание противоречит аксиоме параллельности. Следовательно, наше предположение неверно. Но тогда истинна данная теорема.

Вообще суть доказательства теоремы А=>В способом от про­тивного заключается в следующем. Допускают, _что заключение теоремы В ложно, следовательно, его отрицание В истинно. При­соединив это предложение к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых нахо­дится и условие А), выводят из них следствия до тех пор, пока не получится предложение, противоречащее одной из посылок. Заключая процесс рассуждения, говорят, что полученное про­тиворечие доказывает теорему.

Еще одной формой косвенного доказательства является дока­зательство, основанное на законе контрапозиции. Суть его в том, что вместо теоремы А=$*В доказывают равносильную ей теорему вида В=>А. Если эта теорема оказывается истинной, то истинна и исходная теорема.

Докажем, что если дробь ——- несократима, то и дробь -г- то­же несократима.

Доказательство. Допустим, что -| сократимая дробь.

Тогда ее числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, например т, т. е. a = mq, b = mp.

о а — b та — тр т (а — р) ,. а — Ь

Значит, ——— =—-——^J—=—«—~-, т. е. дробь —- сократима. а + Ь mq-\-mp m(q-\-p) a-\-b

Таким образом, доказана истинность предложения: «Если

дробь — сократима, то будет сократима и дробь ~ ». Это

предложение представляет собой теорему, обратную противополож­ной. Значит, по закону контрапозиции будет истинна и исходная теорема.

Упражнения

1. Истинность высказывания «Квадрат любого четного чис­ ла делится на 4» может быть доказана следующим образом:

«Квадрат четного числа 2л имеет вид 4я², где л — натураль­ное Ч И С/Т О.

Так как 4 делится на 4, то и произведение 4л² делится на 4». Проведите логический анализ этого доказательства.

2. Докажите, что диагональ прямоугольника разбивает его на два равных треугольника. Выполните логический анализ про­ веденного доказательства.

_I