14. Простейшие схемы дедуктивных рассуждений

Считают, что в основе каждого дедуктивного рассуждения лежит определенное правило вывода. Мы рассмотрим только три ос­новных таких правила, приняв их без доказательства.

34

1. Правило заключения: (Л=^В и А(а))=>В (а), где А=>В — общая посылка, А (а) — частная посылка, В (а) — заключение.

2. Правило отрицания: (А-=>В и В (а)) =^А (а).

3. Правило силлогизма: (Л=^Б и В=$~С) =ф- (А=>С). Применение этих правил гарантирует, что рассуждение будет

дедуктивным, т. е. позволяет из истинных посылок выводить истин­ное заключение.

Покажем, как используются данные правила для проверки пра­вильности рассуждения.

Задача. Являются ли следующие рассуждения дедуктивными:

1. Все числа, запись которых оканчивается нулем, делятся на 5; число не делится на 5, следовательно, его запись не окан­чивается нулем.

2. Если натуральное число кратно 8, то оно кратно 4; если натуральное число кратно 4, то оно кратно 2; следовательно, если число кратно 8, то оно кратно 2.

3. Если запись числа оканчивается нулем, то оно делится на 5; число не оканчивается нулем, следовательно, оно не, делится на 5.

Решение. 1) Определим схему приведенного рассуждения. Сначала сформулируем общую посылку в виде условного предложе­ния: «Если запись числа оканчивается нулем, то оно делится на 5». Затем обозначим буквой А предложение «Запись числа оканчива­ется нулем», а буквой В предложение «Число делится на 5». Тогда общая посылка примет вид А=$-В, частная — это В, а заключе­ние — А, т. е. имеем рассуждение по схеме:

(А =>В и В)=>А.

Это правило отрицания, гарантирующее истинность заключения. Следовательно, данное рассуждение дедуктивное.

2) Если обозначить через А предложение «Натуральное число кратно 8», через В предложение «Натуральное число кратно 4», через С предложение «Натуральное число кратно 2», то схема дан­ ного рассуждения примет вид:

{А=>В и В^С) =>(А=>С).

Такая схема — это правило силлогизма — гарантирует при истин­ности посылок истинность заключения. Значит, данное рассуждение дедуктивное.

3) Обозначим буквой А предложение «Запись числа оканчива­ ется нулем», буквой В предложение «Число делится на 5»^ Тох- да схема данного рассуждения будет иметь вид (Л=^В и Л)=^В. Она приводит к ложному выводу: например, число 15 не оканчи­ вается нулем, но оно делится на 5. Вообще эта схема рассужде­ ния не гарантирует истинности заключения — она может привести как к истинному, так и к ложному заключению.

Рассуждение по схеме, приводящей в одном случае к истинно-

2*

35

му заключению, а в другом — к ложному, считают недедуктив­ным. Следовательно, данное рассуждение недедуктивное.

Целесообразно запомнить две схшы недедуктивных рассуждений:

1) (А=>В и В)=>А; 2) (А=>В и Л)=>5.

Эти схемы не гарантируют истинности заключения при истин­ности посылок.

Заметим, что полное дедуктивное рассуждение по приведен­ным схемам требует указания двух посылок. Однако в процессе рассуждений эти схемы иногда сокращают, опуская, например, об­щую посылку.

В математике давно заметили, что использование схем, не гарантирующих истинность заключения, а также невыполнение ус­ловий применимости теорем и формул, применение ошибочного чертежа приводят к неверному выводу, ложному заключению. И математики стали придумывать умышленно неправильные рассуж­дения, но имеющие видимость правильного. Такие рассуждения по­лучили названия софизмов.

Разбор софизмов не только формирует умение правильно рассуждать, но и помогает усваивать многие математические факты.

Рассмотрим пример софизма.

Докажем, что 5=1.

Из чисел 5 и 1 вычтем одно и то же число 3. Получим 5 — 3 = 2, 1—3=—2. Возведем числа 2 и —2 в квадрат. Ре­зультатом этого явятся равные числа: 2² = 4, (— 2)² = 4. Зна­чит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Итак, 5=1.

Ясно, что заключение в проведенном рассуждении ложно. Но где допущена ошибка?

Проанализируем проведенное рассуждение. Оно состоит из трех шагов, причем воспроизведенных в сокращенном виде. Мы же восстановим обе посылки каждого шага.

1-й шаг (вычитание из 5 и 1 целого числа 3).

Общая посылка: «Разность любых целых чисел существует».

Частная посылка: «Числа 5, 1 и 3 целые».

Заключение: «Разность 5 — 3, 1—3 существует, и 5 — 3 = 2,

1-3=—2». Так как рассуждение велось по правилу заключения, то при истинных посылках мы получили истинное заключение. Поэтому оши­бок на этом шаге нет.

2-й шаг (возведение чисел 2 и —2 в квадрат). Общая посылка: «Квадраты любых целых чисел всегда сущест­вуют'и являются неотрицательными числами». Частная посылка: «Числа 2 и —2 целые». Заключение: «Квадраты чисел 2 и —2 существуют, причем

2² = 4, (-2)² = 4». Рассуждение здесь также велось по правилу заключения, полу­чили истинный вывод. Поэтому ошибок на этом шаге не допу­щено.

36

3-й шаг (заключение о равенстве чисел 5 и 1).

Общая посылка: «Если числа равны, то равны и их квадраты».

Частная посылка: «Квадраты чисел равны (4 = 4)».

Заключение: «Равны и сами числа 5 — 3=1—3, или 5=1».

На этом этапе рассуждение велось по схеме (А=>В и В) =>А, а она не гарантирует истинности заключения. В результате и было получено ложное заключение.

Упражнения

1.-Выявите схему каждого рассуждения и укажите среди них дедуктивные: 1) противоположные углы параллелограмма равны; четырехугольник ABCD— параллелограмм; следовательно, /LA = = /_С; 2) противоположные углы параллелограмма равны; про­тивоположные углы четырехугольника ABCD равны; следовательно, ABCD — параллелограмм; 3) противоположные углы параллело­грамма равны; четырехугольник ABCD не является параллелограм­мом; следовательно, его противоположные углы не равны; 4) про­тивоположные углы параллелограмма равны; противоположные углы четырехугольника ABCD не равны; следовательно, четырехуголь­ник ABCD не является параллелограммом.

2. Закончите рассуждение так, чтобы оно было правильным:

1. если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3; сумма цифр числа 327 делится на 3, следовательно, ...;

2. если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3; число m не делится на* 3, следовательно, ...; 3) если число делится на 18, то оно делится на 6; если число делится на 6, то оно делится на 3, следовательно

3. Дедуктивны ли следующие рассуждения: 1) все отличники III класса спортсмены. Ученик III класса Сережа — отличник; следо­вательно, Серело спортсмен; 2) все отличники III класса спортсмены. Третьеклассник Володя спортом не занимается; следовательно, он не отличник; 3) все отличники III класса спортсмены. Третьеклас­сница Оля не отличница; следовательно, Оля не спортсменка; 4) все отличники III класса спортсмены. Третьеклассница Таня — спорт­сменка; следовательно, она отличница?

4. Восстановите общую посылку в каждом из следующих рас­суждений: 1) число 12 — натуральное, следовательно, оно поло­жительное; 2) треугольник ABC равносторонний, следовательно, он равнобедренный; 3) число 188 не делится на 9, следователь­но, сумма его цифр не делится на 9.

5. Найдите ощибку в каждом из следующих софизмов: 1) Все числа равны между собой. Пусть афЬ. Возьмем тождество а² —

• 2ab + b² = b²-,2ab + a². Имеем (a — bf = (b-af. Отсюда а^=

• Ь — а, или 2a = 2b, a значит, а — Ь. 2) Из двух неравных чисел первое всегда больше второго. Пусть т и п — произвольные числа и тфп. Имеем (m — nf>0, т. е. т² — 2тп + п²>0, или т² + п^г> ~>2тп. К обеим частям получившегося неравенства прибавим — 2/г².

37

Получим m² — n²>2mn — 2п², или (пг + п) {т — п)>2п (т — п). После деления обеих частей па т — п имеем т-\-п>2п, откуда следует, что т > п.