12. Структура теоремы. Виды теорем

Ранее мы отмечали, что существенные свойства объекта об­разуют содержание понятия об этом объекте. Часть этих свойств включается в определение понятия. Чтобы иметь достаточно пол­ное представление об объекте, изучают и другие его свойства.

Свойства основных (первоначальных) понятий раскрываются в аксиомах' — предложениях, принимаемых без доказательства (в не­которой теории). Например, свойства основных понятий геометрии «точка», «прямая», «плоскость» включены в аксиомы:

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежа­щие прямой, и точки, не принадлежащие прямой.

Через любые две точки можно провести прямую и только одну.

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Мы назвали лишь некоторые аксиомы, раскрывающие свойства данных понятий.

Вообще система аксиом любой математической теории, раскры­вая свойства основных понятий, дает, по сути дела, их опре­деления. Эти определения называются аксиоматическими.

Свойства понятий, не являющиеся основными и не включен­ные в определения, как правило, доказываются, т. е. выводятся как следствия из определения, аксиом и ранее доказанных свойств. Доказываемые свойства понятий чаще всего называют теоре­мами, иногда следствиями или признаками. В алгебре — формула­ми, тождествами, правилами. Несмотря на разные названия, устрое­ны эти предложения одинаково. Поэтому будем называть их все теоремами.

Итак, теорема — это высказывание о том, что из свойства А следует свойство В. Истинность этого высказывания устанав­ливается путем доказательства.

Так как теорема есть высказывание вида А=$*В, то ее словес­ная формулировка может иметь различную форму (см. п. 10, 11). Однако, в каком бы виде ни была сформулирована теорема, в ней всегда выделяется условие А (что дано) и заключение В (что надо доказать).

Пусть дана теорема Л=>-Б. Образуем из нее высказывания вида В=>А, А=>Ъ, Ъ=>А.

Теоремы А=>В и В=^А называются обратными друг другу, а те­оремы А=>В и А=>В называются противоположными друг другу.

Теорему В=$~А называют обратной противоположной.

Пример. Дана теорема: «Если углы вертикальные, то они равны». Сформулируем теоремы обратную, противоположную и обратную противоположной.

Обратная данной: «Если углы равны, то они вертикальные». Это — ложное высказывание.

Слово «аксиома» в переводе с греческого означает «достойное признание». ЭО

Противоположная данной: «Если углы не являются верти-каль-ми, _{т0 они не} равны». Это тоже ложное высказывание.

Обратная противоположной: «Если углы не равны, то они не вер­тикальные». Это — истинное высказывание.

Существует ли какая-нибудь связь между названными вида­ ми теорем? _

Установлено, что теоремы А=>В и В=з*А равносильны^ т\_ е. всегда, когда истинна теорема А=>В, будет истинна и теорема В=>А, и наоборот:

А=>ВоЪ=>А.

Полученную равносильность называют законом контрапозиции.

После того, как доказана какая-либо теорема вида Л=>-В, имеет смысл исследовать обратную ей теорему. В каждом случае нужно проводить ее самостоятельное доказательство, так как тео­рема, обратная данной, может быть ложной. Так случилось, на­пример, в рассмотренном выше примере.

Если окажутся верными и данная теорема и ей обратная, то можно их объединить в одну с помощью слов «тогда и только тогда, когда» или «необходимо и достаточно».

Упражнения

1. Выделите условие и заключение в каждой из теорем: 1) если в треугольнике все стороны равны, то и все углы

равны; 2) сумма двух четных чисел — четное число; 3) если чис­ло кратно 3 и 4, то оно кратно 12; 4) для того чтобы разность делилась на данное число, достаточно, чтобы уменьшаемое и вычита­емое делились на это число; 5) для того чтобы разность на­туральных чисел а и Ь была натуральным числом, необходи­мо и достаточно, чтобы а>Ь.

2. Дана теорема: «Для того чтобы четырехугольник был па­раллелограммом, необходимо, чтобы его противоположные сторо­ны были равны». Выделите в этой теореме условие и заключение и переформулируйте се, употребив слово: 1) следует; 2) всякий; 3) достаточно.

3. Какие из теорем равносильны теореме «Во всяком прямоуголь­нике диагонали равны»: 1) если четырехугольник — прямоугольник, то диагонали а нем равны; 2) если диагонали в четырехуголь­нике не равны, то этот четырехугольник не является прямо­угольником; 3) если диагонали в четырехугольнике равны, то этот четырехугольник — прямоугольник; 4) для того чтобы диагонали в четырехугольнике были равны, достаточно, чтобы этот четырех­угольник был прямоугольником?

4. Являются ли следующие пары теорем обратными друг другу: 1) если четырехугольник — квадрат, то в нем есть прямой угол.

31

Для того чтобы четырехугольник был квадратом, достаточно, чтобы в нем был прямой угол; 2) для того чтобы число было натураль­ным, необходимо, чтобы оно было положительным. Если число нату­ральное, то оно положительное?

5. Сформулируйте теоремы обратную, противоположную данной, а также обратную противоположной; установите, какие из них ложны: 1) если запись числа оканчивается нулем, то число делится на 5; 2) в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.

6. Сформулируйте теорему, обратную данной, и установите, мож­но ли данную теорему и ей обратную объединить в одну: 1) если углы смежные, то они в сумме составляют 180°; 2) если два угла треугольника равны, то и стороны лежащие против них, тоже равны.