9. Правила построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы

Рассмотрим высказывание: «Все натуральные числа делятся на 3». В том, что это ложное высказывание, легко убедиться, приведя контрпример. Так, натуральное число 17 не делится на 3.

Построим отрицание данного высказывания. Можно сказать: «Неверно, что все натуральные числа делятся на 3». Это предложе­ние истинное, и по смыслу оно совпадает с предложением «Суще­ствуют натуральные числа, которые не делятся на 3».

Таким образом, отрицание высказывания «Все натуральные числа делятся на 3» можно построить двумя способами:

1. поставив перед данным предложением слова «неверно, что»;

2. заменив квантор общности на квантор существования, а предложение, стоящее после квантора, его отрицанием.

Заметим, что предложение «Все натуральные числа не делятся на 3» не является отрицанием высказывания «Все натуральные числа делятся на 3», поскольку оно ложно так же, как и данное высказывание.

Возьмем теперь предложение с квантором существования: «Некоторые нечетные числа делятся на 4». Это ложное высказы­вание: все нечетные числа не делятся на 2 и, следовательно, не делятся на 4.

Построим отрицание данного высказывания. Можно сказать: «Неверно, что некоторые нечетные числа делятся на 4». Это предложение истинное и по смыслу совпадает с таким: «Все не­четные числа не делятся на 4».

Таким образом, отрицание высказывания «Некоторые нечет­ные числа делятся на 4» можно построить двумя способами:

1. поставив перед данным предложением слова «неверно, что»;

2. заменив квантор существования на квантор общности, а предложение, стоящее после квантора, его отрицанием.

При построении отрицаний высказываний мы воспользовались правилом, которое принимаем без доказательства.

Отрицание высказывания с квантором (общности или сущест­вования) может быть построено двумя способами:

1. Перед данным высказыванием ставятся слова «неверно, что»;

2. Квантор общности (существования) заменяется квантором существования (общности), а предложение, стоящее после кван­тора, заменяется его отрицанием.

24

Заметим, что сформулированное правило является достаточ­ным для правильного построения отрицания высказываний с квантором. Отрицание данного высказывания может быть построе­но и в другой форме. Важно только соблюдение требования: если данное высказывание ложно, то его отрицание должно быть ис­тинным, и наоборот.

Упражнения

1. Определите, являются ли следующие пары предложений отрицаниями друг'друга:

1) число 289 кратно 9. Число 289 не кратно 9;

2) любое натуральное число делится на 5. Любое натуральное число не делится на 5;

3. всякий многоугольник является четырехугольником. Сущест­вуют многоугольники, не являющиеся четырехугольниками;

4. некоторые натуральные числа меньше единицы. Каждое на­туральное число не меньше единицы.

2. Докажите, что следующие высказывания ложны, и построй­ те их отрицания двумя способами:

1. всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику;

1. любое натуральное число является решением уравнения 2х — 3=1;

2. существует натуральное число, являющееся решением урав­нения х²= — 1.

3. Какие из нижеприведенных высказываний являются отри­ цаниями предложения «Всякое четное число делится на 3»:

1. всякое четное число не делится на 3;

2. неверно, что всякое четное число делится на 3;

3. существует четное число, которое не делится на 3;

4. некоторые четные числа делятся на 3;

5. не всякое число делится на 3?

4. Среди следующих предложений найдите отрицание выска­ зывания «Существует натуральное число, являющееся решением неравенства 2% + 6<2»:

1) все натуральные числа не являются решением неравенства 2х + 6<2;

2) существует натуральное число, не являющееся решением неравенства 2х + 6<2;

3. неверно, что существует натуральное число, являющееся решением неравенства 2x + 6<2;

4. не существует натурального числа, являющегося решением неравенства 2лг + 6<2.

5. Получив равенства 3 + 5 = 8, 9 + 5=14, 11 + 17 = 28, уча­ щийся сделал вывод: сумма любых двух нечетных чисел есть число четное. Верен ли этот вывод? Можете ли вы придумать два нечетных числа, суммой которых является нечетное число? Дока­ зывает ли ваш ответ, что таких двух нечетных чисел не сущест­ вует?

25

10. Отношения следования и равносильности между предложениями

Любое рассуждение не обходится без слов «следовательно», «из данного предложения следует», «отсюда вытекает». Какой смысл вкладывается в эти слова?

Возьмем два предложения: предложение Л — «.v кратно 4» и предложение В—«х кратно 2». Они связаны между собой: любое число, кратное 4, будет кратно 2, или иначе: из того, что чис­ло кратно 4, следует, что оно кратно 2.

Говорят, что из предложения А следует предложение В, если всякий раз, когда истинно предложение А, истинно и предложение В.

Предложение «Из А следует В» можно записать, используя символ =>, таким образом: А=$-В. Знак «=*-» — это знак отношения следования между предложениями.

Запись A=t*B читают по-разному: а) из А следует В; б) В сле­дует из А; в) если А, то В; г) есть А, следовательно, есть В; д) всякое А есть В.

Например, предложение «Из того, что число х кратно 4, следует, что оно кратно 2» можно сформулировать еще и так: а) всякое число, которое делится на 4, делится и на 2; б) если число делится на 4, то оно делится и на 2; в) число х делится на 4. Следовательно, оно делится и на 2.

Пусть даны предложения: А — «Треугольник равнобедренный» и В — «Углы при основании треугольника равны». Выясним, как они связаны между собой.

В курсе геометрии доказано, что если треугольник равнобедрен­ный, то углы в нем при основании равны (т. е. можно утверждать, что А^~В), и обратно: если углы при основании треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный (т. е. В=$*А).

Если из предложения А следует предложение В, а из пред­ложения В следует предложение А, то говорят, что предложения А и В равносильны.

Согласно этому определению предложения «Треугольник равно­бедренный» и «Углы при основании треугольника равны» равно­сильны.

Предложение «А равносильно В» записывают, используя знак о-: АоВ.

Запись АоВ читают по-разному: а) А равносильно В; б) А тогда и только тогда, когда В; в) Л, если и только, если В.

П р и мер. Даны предложения: Л — «Углы X и Y вертикальные», В — «Углы X и Y равны». Выясним, в каком отношении находятся данные предложения.

В геометрии' доказано, что если углы вертикальные, то они равны, т. е. А=>В, а вот следования В=^А нет: из того, что углы равны, не следует, что они вертикальные. Значит, данные пред­ложения не равносильны, они находятся только в отношении следо­вания, причем из Л следует В.

26

Упражнения

1. Установите, находятся ли в отношении следования предло­жения Л и В, если: 1) Л — «Число х кратно 3», В — «Число х коатно 9»- 2) Л — «В четырехугольнике F диагонали равны», В — «Четыоехугольник F — прямоугольник»; 3) Л — «Число х четное», g _ «Число х кратно 5»; 4) Л — «Треугольник F прямоугольный», 5 _ «Треугольник F равнобедренный».

2. Правильно ли употребили слово «следовательно»: 1) число а натуральное, следовательно, и 15-а—натуральное число; 2) чис­ло 15-а — натуральное число, следовательно, и а — натуральное

число? ₀

3. Известно, что а>2. Следует ли отсюда, что: 1) а — г— положительное число; 2) а —4 — положительное число; 3) а—1 — положительное число?

4. Равносильны ли предложения Л и В, если: 1) Л — «Чис­ло х делится на 3», В — «Сумма цифр числа х делится на 3»; 2) А — «Каждое слагаемое суммы делится на 4», В — «Сумма де­лится на 4»?

5. Вставьте «и» либо «или» так, чтобы следующие предло­жения были истинными: 1) а-Ь = 0 о а = 0...Ь = 0\ 2) а-ЬфО о аФ

Ф0 ... ЬфО.

6. Среди нижеприведенных высказываний укажите истинные и сформулируйте их в виде «Если..., то...»: 1) всякий угол, меньший прямого угла, острый; 2) всякий угол, меньший тупого угла, острый; 3) всякий острый угол меньше развернутого.

7. Установите, истинны или ложны следующие высказывания: 1) х>2=>хф2\ 2) х<3^-хф2; 3) хф2^х<2; 4) хф2=>х>2 или х<2.

11. Необходимые и достаточные условия

Понятие отношения следования между предложениями позволя­ет уточнить смысл слов «необходимо» и «достаточно», которые часто употребляются в математике.

Если из предложения А следует предложение В, то говорят, что В — необходимое условие для Л, а Л — достаточное для В.

Другими словами, предложение В называется необходимым усло­вием для Л, если оно логически следует из Л. Предложение Л называется достаточным условием для В, если В из него сле­дует.

А=>В В — необходимое условие для А А — необходимое условие для В

Если предложения А к В равносильны, то говорят, что А — необходимое и достаточное условие для В, и наоборот.

27

■

Пример 1. Ранее мы установили, что из предложения А — «Углы X и Y вертикальные» следует предложение В — «Углы X и Y равны». Поэтому согласно данному выше определению можно ска­зать, что равенство углов — необходимое условие для того, чтобы уг­лы были вертикальными, а вертикальность углов есть достаточное условие для их равенства. В связи с этим предложение «Если углы вертикальные, то они равны» можно сформулировать иначе, исполь­зуя слова «необходимо» и «достаточно»:

1. Для того чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны.

2. Для того чтобы углы были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными.

Пример 2. Пусть А — предложение «Запись числа х оканчи­вается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8», а В — предложение «Число х делится на 2». Как известно, из того, что запись числа -х окан­чивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8 следует, что это число делит­ся на 2. Справедливо и обратное утверждение. Значит, данные предложения А и В равносильны и каждое из них является необ­ходимым и достаточным условием для другого. Поэтому можно ска­зать: для того чтобы число делилось на 2, необходимо и доста­точно, чтобы запись этого числа оканчивалась одной из цифр О, 2, 4, 6, 8. Получили известный признак делимости чисел на 2.

Пример 3. Дано предложение: «Для того чтобы четырехуголь­ник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны». Выясним, нельзя ли сформулировать это пред­ложение по-другому.

Поскольку предложение «Диагонали ромба взаимно перпендику¹ лярны» вытекает из предложения «Четырехугольник — ромб», то предложение «Для того чтобы четырехугольник был ромбом', необ­ходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны» мож­но сформулировать еще так:

1. Из того, что четырехугольник— ромб, следует, что его диа­гонали взаимно перпендикулярны.

1. Во всяком ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.

3. Если четырехугольник — ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

4. Чтобы диагонали четырехугольника были взаимно перпен­дикулярны, достаточно, чтобы он был ромбом.

В начальном курсе математики слова «необходимо» и «доста- ■ точно», как правило, не употребляются, но зато широко исполь­зуются их синонимы — соответственно слова «нужно» и «можно».

Приведем пример. Задача. В первой коробке 6 карандашей, во второй — на 2 меньше. Сколько карандашей в двух коробках?

Один из возможных путей поиска решения задачи может быть таким. Учитель спрашивает: Можно ли сразу узнать, сколько всего карандашей (т. е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу отве­тить на ее вопрос)?

28

Учащийся отвечает:

Нельзя. Нужно еще знать, сколько карандашей во второй

коробке (т. е. необходимо это знать).

Учитель далее спрашивает:

Можно ли узнать, сколько карандашей во второй коробке

(т. е. достаточно ли данных в задаче, чтобы ответить на этот вопрос)?

• Можно,— отвечает учащийся.

• Что для этого нужно сделать? — спрашивает учитель и т. д. Правильное употребление учащимся слов «нужно» и «можно» —

залог успеха в использовании слов «необходимо» и «достаточ­но» при дальнейшем изучении математики.

Упражнения

1. Известно, что предложение «Если число делится на 4, то оно делится на 2» истинно. Сформулируйте его, используя слова «необхо­димо» и «достаточно».

2. Какие из следующих предложений можно переформулиро­вать, употребив слова «необходимо» и «достаточно»: 1) всякий равно­сторонний треугольник является равнобедренным; 2) всякий прямо­угольный треугольник является равнобедренным?

3. Переформулируйте следующие предложения, используя слова «если ..., то», «всякий», «следует»: 1) для того чтобы число де­лилось на 10, необходимо, чтобы его запись оканчивалась нулем; 2) для того чтобы 2а было целым числом, достаточно, чтобы а было целым числом.

4. Какие из приведенных ниже высказываний истинные: 1) для 'того чтобы число делилось на 2,' необходимо, чтобы оно оканчи­валось нулем; 2)«для того чтобы число делилось на 3, доста­точно, чтобы оно делилось на 6;д.З) для того чтобы число дели­лось на 10, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 5; 4) для того чтобы число делилось на 15, необходимо, чтобы оно дели­лось на 5;-5) для Torq чтобы число делилось на 100, достаточ­но, чтобы оно делилось на 10?

5. Какие из следующих предложений можно сформулировать, употребив слова «необходимо и достаточно»: 1) всякое число, которое делится на 3 и на 5, делится на 15; 2) в прямоугольни­ке диагонали равны; 3) сумма двух четных чисел есть четное число?

6. Вместо многоточия вставьте слова «необходимо», либо «доста­точно», либо «необходимо и достаточно» так, чтобы предложения были истинными: 1) для того чтобы сумма двух натуральных чисел делилась на 2, ..., чтобы каждое слагаемое делилось на 2; 2) для того чтобы число делилось на 72, ..., чтобы оно делилось на 8 и на 9; 3) для того чтобы число было отрицатель­ным, ..., чтобы оно было меньше нуля; 4) для того чтобы угол был тупым, ..., чтобы он был больше прямого.

29