Дополнительные упражнения

К главе I

1. Покажите, что при выполнении следующих заданий учащиеся, по существу находят множество истинности высказывательной формы:

а) Реши уравнение х — 9=18.

б) Какие числа пропущены: □ +79 = 79, 100— □ =0, 98:D=98, 67-П=0, □ :4=1, П:2 = 7?

в) Поставь числа, чтобы равенства были верными: □•Q=28, □•□=64.

г) Рассмотри записи и заполни пропуски, сравнивая в каждом столбике вто­ рой пример с первым:

36 = 9-□ 48 = 6-□

38 = 9-□ + □ 52 = 6-П + П

д) При умножении каких двух однозначных чисел может получиться 24? 12? 32? 49?

е) Составь примеры на деление с числами: 2, 64, 16, 32, 3, 48, 4. Образец: 64:2 = 32.

2. Докажите или опровергните высказывания:

а) Существует равнобедренный треугольник, периметр которого равен 24 см, а боковая сторона равна 10 см.

б) Существует равнобедренный треугольник, периметр которого равен 24 см, а боковая сторона равна 5,5 см.

в) Существует прямоугольник, у которого диагональ равна 11 см, а одна из сторон 13 см.

г) Существует параллелограмм, диагонали которого равны 14 см и 20 см, а одна из сторон 18 см.

3. Установите значение истинности высказывания:

а) Для любых чисел а и Ь верно равенство (а — й)² = а²— Ь^г.

б) Существуют такие действительные числа а и 6, что равенство (а — fc)² = a²— ft² истинно.

в) Для всех действительных чисел а и 6 имеет место равенство (a + fc)^_2 = = а~^к + Ь-².

г) Для некоторых значений а и b равенство (a + й) ² = а ² + Ь ² не выпол­ няется.

д) При некоторых значениях х верно равенство -\/(20-у-х)²=—х — 20.

е) Существуют такие значения у, при которых верно равенство У(1 —yf=y— 1.

4. Для ложных высказываний из упражнения 3 постройте отрицания.

5. Установите, какие из следующих высказываний истинны, и переформули­руйте их, используя слово «следует»:

а) Каждое число, кратное 6, кратно 3.

б) Любое простое число есть число нечетное.

в) Все иррациональные числа действительные.

г) Всякий четырехугольник с прямыми углами является прямоугольником.

6. Про какие пары приведенных ниже утверждений можно сказать, что одно из них является необходимым (достаточным, необходимым и достаточным) для другого:

Л-«х>3», В-«х²>9», С — «|х|>3»?

7. Для каждого из предложений В и С установите, какое из них является не­ обходимым условием для предложения Л, а какое — достаточным:

а) Л — «элемент х принадлежит пересечению множеств X и К», В — «элемент х принадлежит множеству X»,

С — «элемент х принадлежит объединению множеств X и Y-».

б) Л — «элемент х принадлежит множеству Хт>,

307

В — «элемент х принадлежит пересечению множеств X и У», С — «элемент х принадлежит объединению множеств X и У».

в) А — «л : 18», В — «л : 2», С — «л : 9».

г) Л — «л : 6», В — «л : 12», С — «л | 3».

д) А — «Четырехугольник PQTS — ромб»,

В — «В четырехугольнике PQTS все стороны равны», С — «Четырехугольник PQTS — квадрат».

8. Вместо многоточия поставьте слово «необходимо», или «достаточно», или «необходимо и достаточно» так, чтобы полученные высказывания были истинными:

а) Для того чтобы а — Ь, ..., чтобы |а| = |6|.

б) Для того чтобы а\ п и Ь '• л, ..., чтобы {а-\-Ь)\ п.

в) Для того чтобы xЈA\jB, ..., чтобы х£А.

г) Для того чтобы х£А(]В, .... чтобы х£А.

х² — 9

д) Для того чтобы дробь — была равна нулю чтобы х = 3.

9. Для каждой из следующих теорем сформулируйте обратную, противопо­ ложную и обратную противоположной, установите их значение истинности:

а) Если число делится на 9, то и сумма цифр в его записи делится на 9.

б) Если число делится на 12, то оно делится на 3 и на 4.

в) Произведение двух любых натуральных чисел есть число натуральное.

г) Для того чтобы число делилось на 25, достаточно, чтобы его запись окан­ чивалась двумя нулями.

д) Во всяком прямоугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам.

е) Для того чтобы углы были смежными, необходимо, чтобы они в сумме составляли 180°.

10. Можно ли утверждать, что четырехугольник, в котором диагонали взаимно перпендикулярны и одна из них делит другую пополам, является ромбом?

11. Дан угол MAP, проведена его биссектриса. Через точку В, принадлежащую биссектрисе, проведена прямая, к ней перпендикулярная. Докажите, что она от­секла от угла равнобедренный треугольник. Выполните логический анализ этого доказательства.

12. Постройте окружность и проведите в ней диаметры АВ и CD. Докажите, что хорды AD и ВС равны между собой. Проведите логический анализ этого до­казательства.

13. Докажите, что существуют такие значения а и 6, при которых У^а — Ьф ¥=л/а — л/Ь.

14. Какими должны быть рассуждения учащихся при выполнении задания:

а) Объясни, почему верны равенства: 28-3 = 3-28, 36-2 = 30-2 + 6-2.

б) Рассмотри запись и объясни решение следующих примеров: 5-14= 14-5 = 70; 3-26 = 26-3 = 78.

15. Покажите, что при выполнении следующих заданий учащиеся, по существу, устанавливают отношение принадлежности элемента множеству; укажите характе­ ристическое свойство элементов этого множества:

а) Запиши число, при делении которого на 5 в остатке получится 2.

б) Подбери числа и составь 4 примера с данными ответами: □•□=64, □ :□ =26.

16. Какое множество является пересечением:

а) множества натуральных чисел и множества действительных чисел;

б) множества действительных чисел и множества рациональных чисел?

17. Какое множество является дополнением:

а) множества натуральных чисел до множества целых чисел;

б) множества целых чисел до множества рациональных чисел;

в) множества рациональных чисел до множества действительных чисел?

308

18. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А, В и С, если:

а) Л — множество треугольников с углом 30°, В — множество тупоугольных треугольников,

С — множество равнобедренных треугольников;

б) Л — множество натуральных чисел, кратных 7, В — множество натуральных чисел, кратных 35, С — множество натуральных чисел, кратных 42.

19. Установите отношения между множествами Л и В {А —В, AczB, BcA), если:

а) Л — множество двузначных чисел, В — множество двузначных чисел, крат­ ных 3;

б) Л — множество натуральных решений неравенства 2^д;^5, В — множест­ во натуральных решений неравенства 1<л:<6;

в) Л — множество натуральных чисел, кратных 4, В — множество натуральных чисел, кратных 12;

г) Л — множество действительных решений неравенства х> —6, В — множе­ ство действительных решений неравенства U1 <3;

д) Л — множество пар действительных чисел, удовлетворяющих уравнению х* = у², В — множество пар действительных чисел, удовлетворяющих уравнению х=у\

е) Л — множество пар действительных чисел, удовлетворяющих уравнению х³ = у³, В — множество пар действительных чисел, удовлетворяющих уравнению х=у.

20. С какими множествами и отношениями между ними, по существу, имеют дело учащиеся при решении задачи:

а) Из ряда чисел от 1 до 28 выпиши по порядку числа, которые делятся без остатка на 3.

б) Умножь каждое однозначное число на 7 и запиши значения полученных произведений.

в) Какие числа от 40 до 60 делятся без остатка на 7? на 8?

г) Каждое из чисел 56, 64, 72, 40 уменьши в 8 раз. Увеличь каждое из данных чисел на 8.

д) Запиши по порядку числа от 0 до 50, которые делятся без остатка на 3, на 4, на 7. Какие из них делятся без остатка на 6? на 12?

е) Из чисел 27, 45, 38, 62, 53, 72, 81, 48 выпиши те, которые при делении на 5 дают в остатке 4.

21. Какую логическую операцию выполняют учащиеся при решении задачи:

а) Найди среди данных примеров на деление с остатком решенные с ошибкой и реши их правильно:

37:4 = 8 (ост. 5) 48:7 = 6 (ост. 6)

82:9 = 9 (ост. 1) 58:6=8 (ост. 10)

б) Юннаты вскопали 18 грядок. Каждый день они копали по 9 грядок. Сколько дней юннаты копали эти грядки?

22. Решите комбинаторные задачи, используя правило произведения:

а) Из 6 открыток надо выбрать 3. Сколькими способами это можно сделать?

б) Из 10 кандидатов нужно выбрать 3 человека на конференцию. Сколькими различными способами это можно сделать?

в) Сколькими способами можно составить список из 6 человек?

г) Сколько различных пятизначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5? Сколько среди них таких, которые начинаются цифрами 3 или 5?

23. Среди 100 учащихся-спортсменов лыжным и конькобежным спортом за­ нимаются 9 человек, но никто из них не посещает секцию гимнастики; 6 человек занимаются лыжами и гимнастикой, но никто из них не катается на коньках; 19 че-

309

ловек занимаются только лыжами; 20 только коньками; 30 только гимнастикой; 5 человек занимаются только коньками и гимнастикой. Сколько человек занимают­ся лыжами, сколько коньками, сколько гимнастикой? Сколько человек занимаются всеми видами спорта?

24. В классе 28 учащихся: из них 4 отличника, 14 спортсменов, 18 участников художественной самодеятельности, 2 отличника и спортсмена, 10 — участники ху­дожественной самодеятельности, а 1 — спортсмен, отличник и участник художествен­ной самодеятельности. Сколько учащихся не являются ни отличниками, ни спорт­сменами, ни участниками' художественной самодеятельности?

25. В отчете сообщалось, что из 100 учащихся количество детей, изучающих разные языки, таково: все три языка — 5 человек, немецкий и испанский — 10, не­мецкий и французский — 20, французский и испанский — 8, испанский — 30, не­мецкий — 23, французский — 50. Отчет был оценен как неудовлетворительный. Почему?

26. 70 человек знают хотя бы один из трех языков, причем 10 человек знают только английский, 16 только немецкий, 18 только французский, а число знающих все три языка на 2 меньше числа знающих только французский и немецкий, на 4 меньше числа знающих только английский и французский и на 4 меньше числа знающих только английский и немецкий. Сколько человек знают все три языка?

27. На множестве целых чисел от 0 до 999 заданы отношения: Р — «иметь в записи одно и то же число цифр»,

Q — «иметь в записи одинаковые цифры»,

М — «оканчиваться при записи одной и той же цифрой»,

Т — «быть больше на 10».

Какие из заданных отношений являются отношениями эквивалентности? От­вет обоснуйте. Для отношений эквивалентности укажите классы разбиения данного множества. Задайте на этом множестве чисел какое-либо отношение порядка.

28. Можно ли приведенные ниже отношения Р, Q, Т и М разбить на два клас­ са — отношения эквивалентности и отношения порядка, если они заданы на мно­ жестве Х = {35, 37, 42, 46, 15, 26, 5, 11, 17, 21) и:

Р — «оканчиваться при записи одной и той же цифрой», Q — «быть больше»,

Т — «иметь один и тот же остаток при делении на 5», М — «иметь в записи одинаковые цифры»?

Ответ обоснуйте. Для отношений эквивалентности укажите классы разбиения множества X.

29. На сколько классов "можно разбить отношения Т, Р, Q и М, если они зада­ ны на множестве Х = {24, 4, 12, 13, 15, 26, 72, 78, 81, 97, 39, 80) и:

Т — «быть больше в 6 раз»,

Р — «иметь один и тот же остаток при делении на 6»,

Q — «оканчиваться при записи одной и той же цифрой»,

М — «иметь в записи одинаковые цифры»?

Для отношений эквивалентности укажите классы разбиения множества X.

30. Верно ли, что множество А равномощно множеству В, если:

а) А — множество натуральных чисел, кратных 9, В — множество натуральных чисел, кратных 18;

б) А — множество натуральных чисел, кратных 5, В — множество квадратов натуральных чисел?

31. Постройте граф и график соответствия f между множествами Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) и Y = Z, если:

a) f:x^3x+l; б) f:x-*5 — x²; в) f;jt-J-².

К главе II

1. Обоснуйте выбор действий при решении задачи:

а) В библиотеке на одной полке стояло 32 книги, а'на другой 40 книг. 20 книг выдали детям. Сколько книг осталось на этих полках?

б) Во дворе играли 6 девочек и 5 мальчиков. Потом 2 мальчика ушли домой. Сколько ребят осталось во дворе?

310

24. Какие из нижеприведенных задач учащиеся начальных классов могут ре­шить двумя способами:

а) 12 кг варенья разложили в 6 банок поровну. Сколько надо таких банок, чтобы разложить 24 кг варенья?

б) В двух одинаковых ящиках 32 кг яблок. Сколько килограммов яблок в 4 та­ ких ящиках? в 5 ящиках?

в) На 4 простыни пошло 12 м полотна. Сколько таких простыней получится из 30 м полотна?

К главе V

1. Следует ли из равносоставленности двух прямоугольников: а) равенство этих прямоугольников; б) их равновеликость?

2. Существуют ли многоугольники, из равносоставленности которых следует их равенство?

3. Могут ли быть равновеликими: а) два неравных прямоугольника, имеющие по равной стороне; б) два неравных треугольника, которые имеют по две соответ­ственно равные стороны?

4. Трапеция своими диагоналями разделена на четыре треугольника. Дока­жите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

5. Как изменится площадь квадрата, если увеличить его диагональ в п раз?

6. Периметр прямоугольника равен 28 см, а разность смежных сторон равна 2 см. Определите длину диагонали и площадь прямоугольника.

7. Как построить квадрат, площадь которого в 2 раза больше площади дан­ного квадрата?

8. Даны квадрат и произвольный прямоугольник, диагонали которого равны диагоналям квадрата. Площадь какой из этих фигур больше? Почему?

9. Как известно, площадь ромба равна половине произведения его диагона­лей. Рассуждая по аналогии, учащийся предположил, что этим правилом можно вос­пользоваться и для вычисления площади трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, а также для вычисления площади произвольного четырехуголь­ника со взаимно перпендикулярными диагоналями. Верно ли это предположение?

10. Будут ли равновеликими прямоугольники, если сторонами одного из них яв­ляются катеты прямоугольного треугольника, а сторонами другого — гипотенуза и опущенная на нее высота?

11. Установите, какие величины рассматриваются в задаче, в каких отношениях они находятся и какие выполняются над ними действия, решите задачу:

а) Сад и огород имеет форму прямоугольника, площадь каждого из них равна 1500 м². Ширина сада на 5 м больше ширины огорода, а длина сада на 10 м меньше длины огорода. Найдите размеры сада и огорода.

б) При постройке здания требовалось вынуть 4500 м³ в определенный срок. Перевыполняя дневную норму на 45 м³, строители уже за 4 дня до срока выпол­ нили 96% задания. Определите сроки работы.

в) Отправляясь в путешествие, турист рассчитывал истратить в дороге 72 р. В течение первых 5 дней его расходы совпадали с расчетными, затем он стал рас­ ходовать в день в среднем на 1 р. больше, чем предполагал, и, задержавшись в пути на 1 день, вернулся домой, истратив на все путешествие на 23 р. больше, чем наме­ чал. Сколько дней продолжалось путешествие?

г) Две машинистки получили для перепечатки рукопись. После 2 ч совместной работы одна из машинисток получила другое задание и вторая, оставшись одна, закончила работу через 1 ч 20 мин. За сколько часов могла бы перепечатать ру­ копись каждая машинистка, если второй на это понадобилось бы на 1 ч 10 мин боль­ ше, чем первой?

д) Мотоциклист предполагал проехать расстояние 90 км за определенное вре­ мя. Проехав 54 км, он должен был остановиться у закрытого шлагбаума на 5 мин. Продолжая движение, он увеличил скорость на 6 км/ч и прибыл к месту назначе­ ния в намеченное время. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.