8. Смысл слов «все» и «некоторые»

Про числа 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно сказать:

а) все данные числа однозначные;

б) некоторые из данных чисел четные. 20

Так как относительно этих предложений можно сказать, что _оНи истинны или ложны, то полученные предложения — высказы­вания.

Выясним, как устроены такие предложения.

Если из предложения «а» убрать слово «все», то получим предложение «Данные числа однозначные». Это высказыватель­ная форма (хотя переменной в явном виде предложение не содер­жит), так как вопрос «Истинно это предложение или ложно?» смысла не имеет. Значит, слово «все», поставленное перед данной высказывательной формой, обращает ее в высказывание.

Предложение «б» устроено аналогично, только высказыватель-ную форму «Данные числа четные» обращает в высказывание слово «некоторые».

Слова «все» и «некоторые» называют кванторами. Слово «квантор» латинского происхождения и означает «сколько», т. е. квантор показывает, о скольких (всех или некоторых) объектах говорится в том или ином предложении.

Различают кванторы общности и существования.

Кванторы общности — это слова «любой», «всякий», «каж­дый», «все».

Кванторы существования — это слова «существует», «неко­торые», «найдется», «хотя бы один».

Таким образом, если перед одноместной высказывательной формой поставить какой-либо квантор (т. е. слово «любой», «вся­кий», «существует» и т. д.), то получаем высказывание. Значит, получить из одноместной высказывательной формы высказыва­ние можно не только подставляя в нее конкретные значения переменной, но и поставив перед высказывательной формой кван­тор (общности или существования).

Форму высказывания с квантором имеют многие математи­ческие предложения, например:

все квадраты являются прямоугольниками;

некоторые четные числа делятся на 4;

в любом прямоугольнике сумма внутренних углов рав­на 360°.

Часто в высказываниях квантор опускается; например, пере-местительный закон сложения чисел записывают в виде равенства a-\-b = b-\-a, которое означает, что для любых чисел а и b справедливо равенство a-\-b = b-\-a, т. е. переместительный закон сложения есть высказывание с квантором общности.

Как устанавливают значение истинности высказываний с кван­тором?

Рассмотрим высказывания:

1. Любое число 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 является решением неравенства х + 2 > х.

2. Сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

3. Любой прямоугольник является квадратом.

: 21

Как устроены данные высказывания? Все они содержат кван­тор общности, выраженный словом «любой». Истинны или ложны эти высказывания?

Обратимся к первому предложению. Чтобы убедиться в том, что любое из чисел 0, 1,2, ..., 9 является решением неравенства х-\-2>х, рассмотрим случаи:

При х = 0 имеем 0 + 2>0, т. е. истинное числовое неравенство.

При х=\ имеем 1+2>1, т. е. истинное числовое неравенство.

При х = 2 имеем 2 + 2>2, т. е. истинное числовое неравенство.

При х = 9 имеем 9 + 2>9, т. е. истинное числовое неравенство.

Действительно, любое число из совокупности 0, 1, 2, ..., 9 является решением неравенства х-\-2>х, т. е. высказывание «Любое число 0, 1, 2, ..., 9 является решением неравенства х-\-2>хъ — истинное высказывание. Каким образом мы устано­вили это? Доказали, рассмотрев все частные и возможные случаи. Способ доказательства, который был использован нами, называет­ся полной индукцией.

Обратимся теперь ко второму предложению. Доказательство, аналогичное тому, что использовалось для первого предложения, здесь неприемлемо, поскольку мы не имеем возможности рас­смотреть все случаи. Нужен другой способ доказательства.

Обозначим последовательные натуральные числа через х, х-\-1 и x-f-2 и докажем, что при любом х сумма х-\-(х-\- 1)-{-(х + 2) делится на 3.

Выражение х-\-(х + 1) + (х + 2) можно преобразовать к виду x + A'+l-_r-x + 2 = 3x-f-3 = 3(x-_r-l). Так как 3 делится на 3, то и произведение 3(х+1) делится на 3. Следовательно, и сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

Рассмотрим третье предложение. Это — ложное высказывание. Чтобы убедиться в этом, достаточно начертить прямоугольник, не являющийся квадратом. Мы опровергли данное высказыва­ние, приведя контрпример.

Подведем итоги. Нами установлено, что первое и второе пред­ложения — истинные высказывания. Сделали мы это путем до­казательства. Третье предложение ложное. Убедились мы в этом, приведя контрпример.

Вообще, истинность высказываний с квантором общности устанавливается путем доказательства. Чтобы убедиться в лож­ности таких высказываний (опровергнуть их), достаточно при­вести контрпример.

Выясним, как устанавливают значение истинности высказыва­ния с квантором существования. Рассмотрим высказывания:

1. Существуют натуральные числа, кратные 3.

2. Существуют прямоугольные равносторонние треугольники. Первое высказывание истинное. Чтобы обосновать этот вывод,

достаточно привести пример. Так, 9 — число натуральное и делится на 3.

22

Второе высказывание ложное. Действительно, в прямоуголь­ном треугольнике один угол обязательно содержит 90°, а в равно­стороннем треугольнике величина всех углов 60°. Значит, среди прямоугольных треугольников равносторонних нет.

Таким образом, чтобы обосновать вывод во втором случае, нам пришлось провести доказательство.

Вообще истинность высказывания с квантором существова­ния устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.

В начальном курсе математики высказывания с кванторами встречаются часто. По существу, все высказывания общего харак­тера являются высказываниями с квантором общности. Такими являются, например, высказывания:

a-f-fe = 6-fa 0-f-a = a ab = ba

0-a = 0 l-a = a а:1=аидр.

Действительно, для любых натуральных чисел Ь и а имеет место переместительное свойство сложения и умножения; для лю­бого натурального числа а справедливы равенства 0 + а — а, 0-а = 0 и др.

Упражнения

1. Проанализируйте структуру следующих предложений: 1) некоторые нечетные числа делятся на 9; 2) во всяком прямо­угольнике диагонали равны; 3) хотя бы одно из чисел первого десятка составное; 4) произведение двух любых последователь­ных натуральных чисел кратно 2.

2. Истинность каких предложений, данных в упражнении 1, можно установить, проведя доказательство?

3. Докажите или опровергните следующие высказывания: 1) в любом четырехугольнике -диагонали равны; 2) некоторые нечетные числа делятся на 4; 3) существуют четные числа, крат­ные 7; 4) все прямоугольники являются многоугольниками.

4. Докажите, используя полную индукцию, истинность выска­зывания: 1) все однозначные натуральные числа являются реше­нием уравнения 2- (x-r-3) = 6-f-2x; 2) каждое четное натуральное число, большее 4, но* меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.

5. Какие из следующих высказываний истинны: 1) всякий квадрат является параллелограммом; 2) всякий ромб является квадратом; 3) во всяком ромбе диагонали в точке пересечения делятся пополам?

6. В какие из нижеприведенных предложений можно добавить слово «всякий» или «существует», чтобы предложение стало ис­тинным высказыванием: 1) диагонали делят углы ромба пополам;

23

2) противоположные углы параллелограмма в сумме состав­ляют 180°; 3) диагонали четырехугольника взаимно перпендику­лярны?