98. Неравенства с одной переменной. Равносильность неравенств

Предложения вида 2* + 7> 10—^:х, *² + 7*<2, (х + 2) (2х — 3) > 0 называют неравенствами с одной переменной.

Определение. Пусть f (х) и g (х) — два выражения с переменной * и областью определения Я. Тогда неравенство ви­да f (x)>g (х) или / (x)<lg (x) называется неравенством с од­ной переменной.

Значение переменной * из множества X, при котором нера­венство обращается в истинное числовое неравенство, называ­ется его решением. Найти множество решений данного нера­венства — значит решить это неравенство.

В школьном курсе математики рассматриваются различные неравенства с одной переменной. Нас будут интересовать в основ­ном только неравенства первой степени. В основе решения таких неравенств, так же как решения уравнений, лежит понятие рав­носильности и теоремы о равносильности неравенств.

Определение. Два неравенства называются равносиль­ными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2* + 7>10 и 2х>3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой про­межуток (— , оо J .

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них по своей сути похожи на соответствующие теоремы о равносиль-

9* 259

этого является тесная связь математики с естественными наука­ми, в частности с физикой, для которых аппарат функций слу­жит средством количественного описания свойств и явлений, их взаимосвязей.

Важность и сложность понятия функции требует от началь­ного курса математики (как части всей школьной математики) постепенной и систематической подготовки учащихся к усвоению этого понятия, т. е. пропедевтики. В связи с этим в нашем курсе мы рассмотрим ряд вопросов, которые должны помочь учите­лю грамотно, с пониманием сути дела осуществлять пропедев­тику понятия функции в начальных классах и обучать уча­щихся решению задач с пропорциональными величинами.

99. Понятие функции

Учащиеся начальных классов решают задачу: «Килограмм апельсинов стоит 2 р. Сколько стоят 3 кг апельсинов? 4 кг? 6 кг апельсинов?» Проанализируем ее содержание. В задаче речь идет о таких величинах, как масса купленных апельсинов, их стоимость, цена одного килограмма. Если обозначить через х массу купленных апельсинов, а через у их стоимость, то зави­симость между ними будет выражаться формулой у = 2х. По этой формуле для каждого значения х можно найти соответст­вующее ему значение у. Установленную зависимость у от х на­зывают функцией. Она такова, что каждому значению перемен­ной х соответствует единственное значение переменной у.

Определение. Функцией называется такая зависимость переменкой у от переменной х, при которой каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменную х называют независимой переменной или аргу­ментом, а переменную у — зависимой переменной. Говорят также, что у является функцией от х. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.

Чтобы задать функцию, нужно задать числовое множество X (его называют областью определения функции) и способ (пра­вило), с помощью которого для каждого числа х из множества X можно найти соответствующее число у —■ значение функции.

Функции принято обозначать буквами /, g, h и др. Если / — функция, то значение переменной у, соответствующее аргумен­ту х, обозначают f (х), т. е. y = f(x).

Чаще всего функции задают с помощью формул, указы­вающих, как по данному значению аргумента найти соответст­вующее значение функции. Например, если длина стороны квад­рата равна х дм, а площадь у дм , то формула у=х² задает функцию, областью определения которой будет множество по­ложительных действительных чисел.

Если куплено х тетрадей, по 3 к. каждая, а у к.— стоимость всей покупки, то формула у = Ъх задает функцию, область опре-

263

7. Из населенного пункта в город, находящийся на расстоянии 20 км, со скоростью 5 км/ч отправился пешеход. На каком рас­стоянии (s км) от города будет пешеход через t часов? Какие значения может принимать t?